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解直角三角形一、选择题1.（2015，广西河池，12，3分）我们将直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”,如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时，使得⊙P成为整圆的点P个数是(A)A.6B.8C.10D.12第12题解析:∵∠OAB=30°,OB=4,∴OA=OB·tan∠OAB=4·=12,过P作PD⊥AB，则易求得0≤PD≤6,要使得⊙P是整圆，则PD只能取1、2、3、4、5、6.故选A.2.（2015•河北,第9题3分）已知：岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，符合条件的示意图是（）A．B．C．D．考点：方向角．分析：根据方向角的定义，即可解答．解答：解：根据岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，故D符合．故选：D．点评：本题考查了方向角，解决本题的关键是熟记方向角的定义．3.（2015•黑龙江哈尔滨，第6题3分）（2015•哈尔滨）如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC=1200m，从飞机上看地平面指挥台B的仰角α=30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）A．1200mB．1200mC．1200mD．2400m考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先根据图示，可得∠ABC=∠α=30°，然后在Rt△ABC中，用AC的长度除以sin30°，求出飞机A与指挥台B的距离为多少即可．解答：解：∵∠ABC=∠α=30°，∴AB==，即飞机A与指挥台B的距离为2400m．故选：D．点评：此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．二、填空题1.（2015•齐齐哈尔,第19题3分）BD为等腰△ABC的腰AC上的高，BD=1，tan∠ABD=，则CD的长为2或2﹣或．考点：解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理．分析：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB=AC，在Rt△ABD中，根据锐角三角函数的定义即可得到结果；②如图2，∠A为锐角，AB=AC，在Rt△ABD中根据锐角三角函数的定义即可得到结果，③如图3，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数的定义即可得到结果．解答：解：分三种情况：①如图1，∠A为钝角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，AB=2，∴AC=2，∴CD=2+，②如图2，∠A为锐角，AB=AC，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，AB=2，∴AC=2，∴CD=2﹣，③如图3，BA=BC，∵BD⊥AC，∴AD=CD，在Rt△ABD中，∵BD=1，tan∠ABD=，∴AD=，∴CD=，综上所述；CD的长为：2或2﹣或，故答案为：2或2﹣或．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，难点在于要分情况讨论．2.（2015•贵州省黔东南州,第14题4分）如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里．那么该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．考点：解直角三角形的应用-方向角问题．分析：过M作东西方向的垂线，设垂足为N．由题易可得∠MAN=30°，在Rt△MAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可．解答：解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N．易知：∠MAN=90°=30°．在Rt△AMN中，∵∠ANM=90°，∠MAN=30°，AM=100海里，∴AN=AM•cos∠MAN=100×=50海里．故该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．故答案为50．点评：本题主要考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质作出辅助线是解决本题的关键．3．（2015•湖北十堰，第15题3分）.如图，小华站在河岸上的G点，看见河里有一小船沿垂直于岸边的方向划过来．此时，测得小船C的俯角是∠FDC=30°，若小华的眼睛与地面的距离是1.6米，BG=0.7米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡i=4：3，坡长AB=8米，点A、B、C、D、F、G在同一平面内，则此时小船C到岸边的距离CA的长为8﹣5.5米．（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：把AB和CD都整理为直角三角形的斜边，利用坡度和勾股定理易得点B和点D到水面的距离，进而利用俯角的正切值可求得CH长度．CH﹣AE=EH即为AC长度．解答：解：过点B作BE⊥AC于点E，延长DG交CA于点H，得Rt△ABE和矩形BEHG．∵i==，AB=8米，∴BE=，AE=．∵DG=1.6，BG=0.7，∴DH=DG+GH=1.6+=8，AH=AE+EH=+0.7=5.5．在Rt△CDH中，∵∠C=∠FDC=30°，DH=8，tan30°==，∴CH=8．又∵CH=CA+5.5，即8=CA+5.5，∴CA=8﹣5.5（米）．答：CA的长约是（8﹣5.5）米．点评：此题考查了俯角与坡度的知识．注意构造所给坡度和所给锐角所在的直角三角形是解决问题的难点，利用坡度和三角函数求值得到相应线段的长度是解决问题的关键．4．（2015•湖南张家界，第16题3分）如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC，连接AC，且∠ACD=30°，tan∠BAC=，CD=3，则AC=6．考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形．专题：分类讨论．分析：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x，先求得AE（用含x的式子表示）和DE的长，根据勾股定理可表示出AD2，然后根据等腰三角形三线合一的性质可知：AH=，然后根据锐角三角函数的定义可求得HB（用含x的式子表示）的长，根据勾股定理可表示出AB2，然后根据AB=CD，列方程求解即可．解答：解：过点D、B分别作DE⊥AC，BH⊥AC，垂足分别为E、H，设AC=x．在Rt△CDE中，DC=3，∠DCE=30°，∴，．∴DE=，CE=．则AE=x﹣，在Rt△AED中，由勾股定理得：AD2=AE2+DE2=，∵AB=BC，BH⊥AC，∴AH=AC=，∵tan∠BAC=，∴BH=在Rt△ABH中，由勾股定理得：AB2=BH2+AH2，∴．∵AB=AD，∴=解得：x1=，x2=．当AC=时，AC＜DC，与图形不符舍去．∴AC=6．点评：本题主要考查的是勾股定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质和一元二次方程的应用，利用锐角三角函数的定义和等腰三角形的性质求得AH、BH的长度是解题的关键．5．（2015•辽宁抚顺）（第16题，3分）如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为α，且tanα=0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°（图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC），则建筑物CD的高度为7米．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．.分析：根据∠DBC=45°，得到BC=CD，根据tanα=0.7和正切的概念列出算式，解出算式得到答案．解答：解：∵∠DBC=45°，∴BC=CD，tanα==，则=，解得CD=7．故答案为：7．点评：本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键，注意仰角和俯角的概念．6．（2015•辽宁阜新）（第11题，3分）如图，为了测量楼的高度，自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，已知地面上的这点与楼的水平距离BC为30m，那么楼的高度AC为10m（结果保留根号）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：由题意得，在直角三角形ACB中，知道了已知角的邻边求对边，用正切函数计算即可．解答：解：∵自楼的顶部A看地面上的一点B，俯角为30°，∴∠ABC=30°，∴AC=AB•tan30°=30×=10（米）．∴楼的高度AC为10米．故答案为：10．点评：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．三、解答题1.（2015•贵州省贵阳,第20题9分）小华为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡向上行走20m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°．（以下计算结果精确到0.1m）（1）求小华此时与地面的垂直距离CD的值；（2）小华的身高ED是1.6m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，求楼房AB的高度．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：（1）利用在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，得出CD=BD•sin15°求得答案即可；（2）由图可知：AB=AF+DE+CD，利用直角三角形的性质和锐角三角函数的意义求得AF得出答案即可．解答：解：（1）在Rt△BCD中，∠CBD=15°，BD=20，∴CD=BD•sin15°，∴CD=5.2（m）．答：小华与地面的垂直距离CD的值是5.2m；（2）在Rt△AFE中，∵∠AEF=45°，∴AF=EF=BC，由（1）知，BC=BD•cos15°≈19.3（m），∴AB=AF+DE+CD=19.3+1.6+5.2=26.1（m）．答：楼房AB的高度是26.1m．点评：本题考查了解直角三角形的应用，题目中涉及到了仰俯角和坡度角的问题，解题的关键是构造直角三角形．2.（2015•贵州省贵阳,第23题9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FO⊥AB，垂足为点O，连接AF并延长交⊙O于点D，连接OD交BC于点E，∠B=30°，FO=2．（1）求AC的长度；（2）求图中阴影部分的面积．（计算结果保留根号）考点：圆周角定理；全等三角形的判定与性质；扇形面积的计算．分析：（1）解直角三角形求出OB，求出AB，根据圆周角定理求出∠ACB，解直角三角求出AC即可；（2）求出△ACF和△AOF全等，得出阴影部分的面积=△AOD的面积，求出三角形的面积即可．解答：解：（1）∵OF⊥AB，∴∠BOF=90°，∵∠B=30°，FO=2，∴OB=6，AB=2OB=12，又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC=AB=6；（2）∵由（1）可知，AB=12，∴AO=6，即AC=AO，在Rt△ACF和Rt△AOF中，∴Rt△ACF≌Rt△AOF，∴∠FAO=∠FAC=30°，∴∠DOB=60°，过点D作DG⊥AB于点G，∵OD=6，∴DG=3，∴S△ACF+S△OFD=S△AOD=×6×3=9，即阴影部分的面积是9．点评：本题考查了三角形的面积，全等三角形的性质和判定，圆周角定理，解直角三角形的应用，能求出△AOD的面积=阴影部分的面积是解此题的关键．3.（2015•黑龙江省大庆,第24题7分）小敏同学测量一建筑物CD的高度，她站在B处仰望楼顶C，测得仰角为30°，再往建筑物方向走30m，到达点F处测得楼顶C的仰角为45°（BFD在同一直线上）．已知小敏的眼睛与地面距离为1.5m，求这栋建筑物CD的高度（参考数据：≈1.732，≈1.414．结果保留整数）考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：延长AE交CD于点G，设CG=xm，在直角△CGE中利用x表示出EG，然后在直角△ACG中，利用x表示出AG，根据AE=AG﹣EG即可列方程求得x的值，进而球儿CD的长．解答：解：延长AE交CD于点G．设CG=xm，在直角△CGE中，∠CEG=45°，则EG=CG=xm．在直角△ACG中，AG==xm．∵AG﹣EG=AE，∴x﹣x=30，解得：x=15（+1）≈15×2.732≈40.98（m）．则CD=40.98+1.5=42.48（m）．答：这栋建筑物CD的高度约为42m．点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．4.（2015•辽宁省朝阳,第22题10分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且∠BDE=∠A．（1）判