2016年中考数学复习专题40存在性问题(含中考真题解析)

专题40存在性问题☞解读考点知识点名师点晴抛物线的存在性等腰、直角三角形掌握等腰三角形与直角三角形的性质，并能求出相关的点的存在性问题平行四边形问题理解并掌握抛物线与特殊的平行四边形的求法相似三角形理解并掌握抛物线与相似三角形问题的解法等腰梯形、直角梯形理解并掌握抛物线与梯形的存在性问题的求法线段最值掌握线段最大值或线段和的最小值的求法面积最值问题解决相关的三角形或四边形的面积最大（小）值问题☞2年中考【2015年题组】1．（2015大连）在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．【答案】（1）AB=BE；（2）BD=2211mkkk．试题解析：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF，∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠BAE，∴AB=BE；（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF，在△BDE与△AFE中，∵∠DEB=∠AEF，∠BDE=∠AFE，∴△BDE∽△AFE，∴BDDEAFFE，在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF=22DFDE=21kDF，∴21BDkDFmkDF=21kk，∴BD=2211mkkk．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．探究型；3．存在型；4．综合题；5．压轴题．2．（2015大连）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点B的坐标为（2m，m），翻折矩形OABC，使点A与点C重合，得到折痕DE，设点B的对应点为F，折痕DE所在直线与y轴相交于点G，经过点C，F，D的抛物线为cbxax2y．（1）求点D的坐标（用含m的式子表示）；（2）若点G的坐标为（0，﹣3），求该抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，设线段CD的中点为M，在线段CD上方的抛物线上是否存在点P，使PM=21EA？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）D（54m，m）；（2）25252612yxx；（3）P（85，165）或（910，165）．试题解析：（1）根据折叠的性质得：CF=AB=m，DF=DB，∠DFC=∠DBA=90°，CE=AE，∠CED=∠AED，设CD=x，则DF=DB=2m﹣x，根据勾股定理得：222CFDFCD，即222(2)mmxx，解得：x=54m，∴点D的坐标为：（54m，m）；（2）∵四边形OABC是矩形，∴OA=2m，OA∥BC，∴∠CDE=∠AED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD=54m，∴AE=CE=54m，∴OE=OA﹣AE=34m，∵OA∥BC，∴△OEG∽△CDG，∴OEOGCDCG，即334534mmm，解得：m=2，∴C（0，2），D（52，2），作FH⊥CD于H，如图1所示：则∠FHC=90°=∠DFC，∵∠FCH=∠FCD，∴△FCH∽△DCF，∴24552FHCHCFDFCFCD，即43252FHCH，∴FH=65，CH=85，625=165，∴F（85，165），把点C（0，2），D（，2），F（85，165）代入cbxax2y得：22552242648162555cababc，解得：56a，2512b，2c，∴抛物线的解析式为：25252612yxx；考点：1．二次函数综合题；2．存在型；3．矩形的性质；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题；6．压轴题．3．（2015盘锦）如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．（1）请直接写出线段BE与线段CD的关系：；（2）如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α（0＜α＜360°），①（1）中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；②当AC=12ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．【答案】（1）BE=CD；（2）①成立；②存在，45°或225°．（2）①成立，理由如下：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°，∴AB=AC，AE=AD，由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AE=AD，∴△BAE≌△CAD（SAS），∴BE=CD；②存在，α=45°．∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=45°，∵AC=12ED，∴∠CAD=45°，或360°﹣90°﹣45°=225°，∴角α的度数是45°或225°．考点：1．几何变换综合题；2．旋转的性质；3．平行四边形的性质；4．探究型；5．存在型；6．综合题；7．压轴题．4．（2015盘锦）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线23yaxbx交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将线段CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴于H，过点C作CF⊥l于F．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，当点F恰好在抛物线上时，求线段OD的长；（3）在（2）的条件下：①连接DF，求tan∠FDE的值；②试探究在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°？若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2312355yxx；（2）1；（3）①12；②G（4，32）或（4，6）．②连接CE，得出△CDE是等腰直角三角形，∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，求得直线CE的解析式为132yx，设直线DG1的解析式为12yxm，设直线DG2的解析式为2yxn，把D的坐标代入即可求得m、n，从而求得解析式，进而求得G的坐标．试题解析：（1）如图1，∵抛物线23yaxbx交x轴于A（﹣1，0）和B（5，0）两点，∴3025530abab，解得：35125ab，∴抛物线解析式为2312355yxx；（3）①如图3，连接CE，∵△OCD≌△HDE，∴HE=OD=1，∵BF=OC=3，∴EF=3﹣1=2，∵∠CDE=∠CFE=90°，∴C、D、E、F四点共圆，∴∠ECF=∠EDF，在RT△CEF中，∵CF=OH=4，∴tan∠ECF=24EFCF=12，∴tan∠FDE=12；②如图4，连接CE，∵CD=DE，∠CDE=90°，∴∠CED=45°，过D点作DG1∥CE，交直线l于G1，过D点作DG2⊥CE，交直线l于G2，则∠EDG1=45°，∠EDG2=45°，∵EH=1，OH=4，∴E（4，1），∵C（0，3），∴直线CE的解析式为132yx，设直线DG1的解析式为12yxm，∵D（1，0），∴1012m，解得m=12，∴直线DG1的解析式为1122yx，当x=4时，11422y=32，∴G1（4，32）；设直线DG2的解析式为2yxn，∵D（1，0），∴0=2×1+n，解得n=﹣2，∴直线DG2的解析式为22yx，当x=4时，y=2×4﹣2=6，∴G2（4，6）；综上，在直线l上，是否存在点G，使∠EDG=45°，点G的坐标为（4，32）或（4，6）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．存在型；4．旋转的性质；5．分类讨论；6．综合题；7．压轴题．5．（2015齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足28(6)0OAOB，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长；（2）求直线CE的解析式；（3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）10；（2）443yx；（3）存在，P（－3，10）或P（3，2）．试题解析：（1）∵28(6)0OAOB，∴OA=8，OB=6，在直角△AOB中，AB=22OAOB=2286=10；（2）在△OBC和△DBC中，∵∠OBC=∠DBC，BC=BC，∠BOC=∠BDC，∴△OBC≌△DBC，∴OC=CD，设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°，∴△ACD∽△AOB，∴ACCDABOB，即8106xx，解得：x=3．即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）．设AB的解析式是ykxb，根据题意得：680bkb，解得：346kb，则直线AB的解析式是364yx，设CD的解析式是43yxm，则40m，则4m，则直线CE的解析式是443yx；（3）设直线BC的解析式是ynxd，则：630dnd，解得：26nd，则直线BC的解析式是26yx；设经过A且与AB垂直的直线的解析式是43yxe，则4(8)03e，解得：323e，则过A且与AB垂直的直线的解析式是43233yx．根据题意得：4323326yxyx，解得：54xy，则M的坐标是（5，4）．考点：1．一次函数综合题；2．相似三角形的判定与性质；3．分类讨论；4．探究型；5．存在型；6．压轴题．6．（2015龙东）如图，抛物线cbxxy2交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）243yxx；（2）存在，P（2，1）．（2）∵点A与点C关于x=2对称，∴连接BC与x=2交于点P，则点P即为所求，根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为（3，0），243yxx与y轴的交点为（0，3），∴设直线BC的解析式为：ykxb，∴033bkb，解得：13kb，∴直线BC的解析式为：3xy，则直线BC与x=2的交点坐标为：（2，1），∴点P的交点坐标为：（2，1）．考点：1．待定系数法求二次函数解析式；2．轴对称-最短路线问题；3．动点型；4．存在型；5．最值问题；6．综合题．7．（2015北海）如图1所示，已知抛物线245yxx的顶点为D，与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．（1）直接写出D点和E点的坐标；（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，若过点H作直线HG与y轴