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第27讲┃梯形第27讲┃考点聚焦考点聚焦考点1梯形的有关概念梯形定义一组对边________，另一组对边______的四边形叫梯形等腰梯形两腰相等的梯形叫等腰梯形直角梯形有一个角是直角的梯形叫直角梯形平行不平行第27讲┃考点聚焦考点2等腰梯形等腰梯形的性质轴对称性等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴性质定理1等腰梯形同一底上的两________相等性质定理2等腰梯形的对角线________底角相等第27讲┃考点聚焦等腰梯形的判定判定方法(1)定义法；(2)同一底上的两个角________的梯形是等腰梯形判定步骤(1)先判定它是梯形；(2)再用“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”或“对角线相等”来判定它是等腰梯形相等考点3梯形中常用的辅助线第27讲┃考点聚焦辅助线添加方法及目的图形平移一腰从梯形的一个顶点作一腰的平行线，把梯形分成一个平行四边形和一个三角形作两高从同一底的两端作另一底的垂线，把梯形分成一个矩形和两个直角三角形第27讲┃考点聚焦平移对角线移动一条对角线，即过底的一端作对角线的平行线，可以借助所得到的平行四边形来研究梯形延长两腰延长梯形的两腰交于一点，得到两个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等腰三角形连接中点并延长连接梯形一顶点与一腰的中点并延长与另一底的延长线相交，可得一三角形，将梯形的面积转化为三角形的面积，将梯形的上下底转移到同一直线上第27讲┃归类示例归类示例►类型之一梯形的基本概念及性质命题角度：1.梯形的定义及分类；2.梯形的中位线及有关计算．例1[2012·滨州]我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图27－1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD，BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论．图27－1第27讲┃归类示例[解析]连接AF并延长交BC的延长线于点G，则△ADF≌△GCF，可以证得EF是△ABG的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得．解：结论为：EF∥AD∥BC，EF＝0.5(AD＋BC)．第27讲┃归类示例梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决．常用添加辅助线的方法有：(1)平移一腰；(2)过同一底上的两个顶点作高；(3)平移对角线；(4)延长两腰．第27讲┃归类示例►类型之二等腰梯形的性质命题角度：1.等腰梯形两腰的大小关系，两底的位置关系；2.等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系；3.等腰梯形的对角线相等的关系．第27讲┃归类示例例2[2012·内江]如图27－2，四边形ABCD是梯形，BD＝AC且BD⊥AC，若AB＝2，CD＝4，则S梯形ABCD＝________.图27－29第27讲┃归类示例[解析]过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，过点B作BF⊥DC于点F，则AC＝BE，DE＝DC＋CE＝DC＋AB＝6，又∵BD＝AC且BD⊥AC，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BF＝12DE＝3，故可得梯形ABCD的面积为12(AB＋CD)×BF＝9.利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行，而且可证明两边相等或两个角相等．第27讲┃归类示例►类型之三等腰梯形的判定例3[2011·茂名]如图27－4，在等腰△ABC中，点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1＝∠2.(1)求证：OD＝OE；(2)求证：四边形ABED是等腰梯形；(3)若AB＝3DE，△DCE的面积为2，求四边形ABED的面积．第27讲┃归类示例命题角度：1.定义法；2.从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形；3.从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形．图27－4第27讲┃归类示例[解析](1)证明△ABD≌△BAE(ASA)．(2)由(1)得AD＝BE，再证DE∥AB即可．(3)△DCE∽△ACB，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求得．解：(1)证明：∵△ABC是等腰三角形，∴AC＝BC，∴∠BAD＝∠ABE，又∵AB＝BA，∠2＝∠1，∴△ABD≌△BAE(ASA)，∴BD＝AE.又∵∠1＝∠2，∴OA＝OB，∴BD－OB＝AE－OA，即OD＝OE.第27讲┃归类示例(2)证明：由(1)知：OD＝OE，∴∠OED＝∠ODE，∴∠OED＝12(180°－∠DOE)，同理：∠1＝12(180°－∠AOB)，又∵∠DOE＝∠AOB，∴∠1＝∠OED，∴DE∥AB.∵AD、BE是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD与BE不平行，∴四边形ABED是梯形，又由(1)知△ABD≌△BAE，∴AD＝BE.∴梯形ABED是等腰梯形．(3)由(2)可知：DE∥AB，∴△DCE∽△ACB，∴△DCE的面积△ACB的面积＝DEAB2，即2△ACB的面积＝DE3DE2＝19，∴△ACB的面积＝18.∴四边形ABED的面积＝△ACB的面积－△DCE的面积＝18－2＝16.第27讲┃归类示例证明等腰梯形首先要满足梯形的定义，再证明两腰相等，或同一底上的两角相等，或对角线相等即可．►类型之四梯形的综合应用例4[2012·苏州]如图27－5①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝60°，动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止．已知△PAD的面积S(单位：cm2)与点P移动的时间t(单位：s)的函数关系如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一共用了________s(结果保留根号)．第27讲┃归类示例命题角度：1.常用辅助线；2.动态几何问题；3.梯形与全等、相似、解直角三角形等知识的综合运用．(4＋23)第27讲┃归类示例图27－5[解析]根据图②判断出AB、BC的长度，过点B作BE⊥AD于点E，然后求出梯形ABCD的高BE，再根据t＝2时△PAD的面积求出AD的长度，过点C作CF⊥AD于点F，然后求出DF的长度，利用勾股定理求出CD的长度，然后求出AB、BC、CD的和，再求时间．第27讲┃归类示例第27讲┃归类示例由图②可知，t在2s到4s时，△PAD的面积不发生变化，∴在AB上运动的时间是2s，在BC上运动的时间是4－2＝2(s)．∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB＝2cm，BC＝2cm.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，BC＝EF＝2cm.∵∠A＝60°，∴BE＝AB·sin60°＝2×32＝3(cm)．AE＝AB·cos60°＝2×12＝1(cm)，第27讲┃归类示例∴12×AD×BE＝33，即12×AD×3＝33，解得AD＝6cm，∴DF＝AD－AE－EF＝6－1－2＝3(cm)．在Rt△CDF中，CD＝DF2＋CF2＝32＋（3）2＝23(cm)，∴动点P运动的总路程为AB＋BC＋CD＝2＋2＋23＝(4＋23)(cm)．∵动点P的运动速度是1cm/s，∴点P从开始移动到停止移动一共用了(4＋23)÷1＝(4＋23)(s)．第27讲┃归类示例动态几何开放性数学问题是近几年兴起的一种新颖题型，一般是某一个点在某一个图形上的运动，难度相对较大，对考生综合分析问题的能力要求较高．主要形式有开放前提、开放结论两大类．解答此类问题要注意全面、整体地把握题目的意思，尤其不能漏掉某些情况.