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第29讲┃直线与圆的位置关系第29讲┃考点聚焦考点聚焦考点1直线和圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交⇔________(2)直线l和⊙O相切⇔________(3)直线l和⊙O相离⇔________drd=rdr第29讲┃考点聚焦考点2圆的切线切线的性质圆的切线________过切点的半径推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________切线的判定(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线常添辅助线连接圆心和切点垂直于切点圆心唯一半径垂直于考点3切线长及切线长定理第29讲┃考点聚焦切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角基本图形如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP相等平分考点4三角形的内切圆第29讲┃考点聚焦三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形______________的交点，三角形的内心到三边的________相等三条角平分线距离第29讲┃考点聚焦规律清单⊙I内切于△ABC，切点分别为D、E、F，如图．则(1)∠BIC＝90°＋12∠BAC；(2)△ABC三边长分别为a、b、c，⊙I的半径为r，则有S△ABC＝12r(a＋b＋c)；(3)(选学)△ABC中，若∠ACB＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，则内切圆半径r＝a＋b－c2第29讲┃归类示例归类示例►类型之一直线和圆的位置关系的判定命题角度：1.定义法判定直线和圆的位置关系；2.d、r比较法判定直线和圆的位置关系．D例1[2012·无锡]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是()A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交第29讲┃归类示例[解析]分OP垂直于直线l，OP不垂于直线l两种情况讨论．当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d2＝r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．第29讲┃归类示例在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．►类型之二圆的切线的性质命题角度：1.已知圆的切线得出结论；2.利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．第29讲┃归类示例例2[2012·湛江]如图29－1，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若BE＝2，BD＝4，求⊙O的半径．图29－1第29讲┃归类示例[解析](1)先连接OD，则OD⊥BC，且AC⊥BC，再由平行从而得证；(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中利用勾股定理即可求出半径．解：(1)证明：连接OD，∵BC与⊙O相切于点D，∴OD⊥BC.又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠DAC.而OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠DAC，即AD平分∠BAC.(2)设圆的半径为R，在Rt△BOD中，BO2＝BD2＋OD2，∵BE＝2，BD＝4,∴(BE＋OE)2＝BD2＋OD2，即(2＋R)2＝42＋R2，解得R＝3，故⊙O的半径为3.第29讲┃归类示例“圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．第29讲┃归类示例►类型之三圆的切线的判定方法例3[2012·临沂]如图29－2，点A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，AC＝3，CD是⊙O的直径，P是CD延长线上的一点，且AP＝AC.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)求PD的长．第29讲┃归类示例命题角度：1.利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2.利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．图29－2第29讲┃归类示例[解析](1)首先连接OA，利用圆周角定理，即可求得∠AOC的度数，利用等边对等角求得∠PAO＝90°，则可证得AP是⊙O的切线；(2)由CD是⊙O的直径，即可得∠DAC＝90°，然后利用三角函数与等腰三角形的判定定理，即可求得PD的长．第29讲┃归类示例解：(1)证明：连接OA.∵∠B＝60°，∴∠AOC＝2∠B＝120°.又∵OA＝OC,∴∠ACP＝∠CAO＝30°.∴∠AOP＝60°.又∵AC＝AP,∴∠P＝∠ACP＝30°.∴∠OAP＝90°.∴OA⊥AP,故AP是⊙O的切线．(2)连接AD.∵CD是⊙O的直径，∴∠CAD＝90°.∴AD＝AC·tan30°＝3×33＝3.∵∠ADC＝∠B＝60°，∴∠PAD＝∠ADC－∠P＝60°－30°＝30°，∴∠P＝∠PAD，∴PD＝AD＝3.第29讲┃归类示例变式题[2011·安顺]已知：如图29－3，在△ABC中，BC＝AC，以BC为直径的⊙O与边AB相交于点D，DE⊥AC，垂足为点E.(1)求证：点D是AB的中点；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论．图29－3第29讲┃归类示例[解析](1)连接CD，利用等腰三角形底边上的高也是底边上中线证明．解：(1)证明：连接CD，因为BC为⊙O的直径，则CD⊥AB.∵AC＝BC，∴AD＝BD，即点D是AB的中点．(2)DE是⊙O的切线.证明：连接OD,则DO是△ABC的中位线，∴DO∥AC.又∵DE⊥AC，∴DE⊥DO，即DE是⊙O的切线．在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．第29讲┃归类示例►类型之四切线长定理的运用命题角度：1.利用切线长定理计算；2.利用切线长定理证明．第29讲┃归类示例例4[2012·绵阳]如图29－4，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面积．图29－4[解析](1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长．第29讲┃归类示例第29讲┃归类示例解：(1)∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB.∴∠OAP＝∠OBP＝90°.∵∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°.在四边形APBO中，∠APB＝360°－∠OAP－∠OBP－∠AOB＝360°－90°－90°－120°＝60°.(2)∵PA、PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB.∵OA＝OB，PO＝PO，∴△PAO≌△PBO.∴∠APO＝∠BPO＝12∠APB＝30°.∴PO⊥AB，∴∠DAO＝∠APO＝30°.∴OA＝OP×sin∠APO＝20×12＝10(cm)．在Rt△AOD中，∠DAO＝30°，OA＝10cm，∴AD＝cos30°×OA＝32×10＝53(cm)，OD＝sin30°×OA＝12×10＝5(cm)．∴AB＝2AD＝103(cm)，∴S△AOB＝12×AB×OD＝12×103×5＝253(cm2)．(1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．第29讲┃归类示例►类型之五三角形的内切圆命题角度：1.三角形的内切圆的定义；2.求三角形的内切圆的半径．第29讲┃归类示例例5[2012·玉林]如图29－5，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为()图29－5C第29讲┃归类示例[解析]连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE,Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C.解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．第29讲┃归类示例