2016年中考数学考点总动员系列专题15四边形

1考点十五：四边形聚焦考点☆温习理解一、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于)2(n180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。二、平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。（2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。（3）平行四边形的对角线互相平分。（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形三、矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质2（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形四、菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形4、菱形的面积S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半五、正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴3（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。六、梯形1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。2、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。（3）等腰梯形的对角线相等。（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。3、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。4、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。名师点睛☆典例分类考点典例一、四边形的内角和及外角和【例1】（2015眉山）一个多边形的外角和是内角和的52，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【答案】C．【解析】试题分析：设多边形边数为n，则52（n﹣2）•180°=360°，解得：n=7，则这个多边形的边数是7，故选C．考点：多边形内角与外角．【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．【举一反三】1.（2015广元）一个多边形的内角和是外角和的2倍．这个多边形的边数为（）4A．5B．6C．7D．8【答案】B．考点：多边形内角与外角．2.（2015遂宁）一个n边形的内角和为1080°，则n=．【答案】8．【解析】试题分析：（n﹣2）•180°=1080°，解得n=8．故答案为：8．考点：多边形内角与外角．考点典例二、平行四边形的性质与判定【例2】(2014·辽宁省本溪市)如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=30°，则此平行四边形的面积是（）A．6B．12C．18D．24【答案】B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的面积公式的运用和30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．5【举一反三】1.（2015·辽宁营口）．□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42º，∠CBD=23º，则∠COD是().A．61ºB．63ºC．65ºD．67º【答案】C.【解析】试题分析：∵AD∥BC,∴∠BCA=∠DAC=42°，根据三角形的外角等于和它不相邻的内角和，∠COD=∠BCO+∠CBO=42°＋23°=65°，故选C.考点：1.平行四边形的性质；2.三角形外角性质.2.如图，ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AB⊥AC.若AB=4,AC=6,则BD的长是()(A)8(B)9(C)10（D）11【答案】C．考点典例三、矩形的性质与判定【例3】（2015·湖南益阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）6A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD【答案】D【解析】试题分析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误考点：矩形的性质【点睛】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论.【举一反三】1.（2015·山东泰安，第23题）（3分）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．若AB=8，AD=12，则四边形ENFM的周长为．【答案】20．考点：1．三角形中位线定理；2．勾股定理；3．矩形的性质．2.(2015.宁夏，第13题，3分)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,在CD上任取一点E，连接BE,将△BCE沿BE折叠，使点E恰好落在AD边上的点F处，则CE的长为．7【答案】35.考点：矩形的性质；折叠的性质；勾股定理.考点典例四、菱形的性质与判定【例4】（2015南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为3cm，则对角线AC长和BD长之比为（）A．1：2B．1：3C．1：2D．1：3【答案】D．【解析】试题分析：如图，设AC，BD相较于点O，∵菱形ABCD的周长为8cm，∴AB=BC=2cm，∵高AE长为3cm，∴BE=22ABAE=1（cm），∴CE=BE=1cm，∴AC=AB=2cm，∵OA=1cm，AC⊥BD，∴OB=22ABOA=3（cm），∴BD=2OB=23cm，∴AC：BD=1：3．故选D．8考点：菱形的性质．【点睛】本题主要考查了根据菱形的性质；勾股定理.【举一反三】1．(2015·辽宁葫芦岛）（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=10，AC=12，则它的面积是．【答案】96．考点：菱形的性质．2.（2015·辽宁丹东）在菱形ABCD中，对角线AC，BD的长分别是6和8，则菱形的周长是.【答案】20.【解析】试题分析：因为菱形的对角线垂直平分，对角线AC，BD的长分别是6和8，所以一半长是3和4，所以菱形的边长是5，所以周长是5×4=20.考点：菱形的性质.考点典例五、正方形的性质与判定【例5】如图，ABCD是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至9后）是（）A．甲乙丙B．甲丙乙C．乙丙甲D．丙甲乙【答案】B．【解析】试题分析：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°，甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；丙行走的距离是AF+FC+CD，∵∠B=∠ECF=90°，∴AF＞AB，EF＞CF，∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD，∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选B．【点睛】本题考查了正方形的性质，直角三角形的性质的应用，题目比较典型，难度适中．【举一反三】1．（2015·湖北黄冈，12题，3分）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E，若∠CBF=20°，则∠AED等于_________度．10【答案】65．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．2.（2015·湖北鄂州，18题，8分）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：BE=CE．（2）求∠BEC的度数【答案】(1)证明见解析；（2）30°【解析】试题分析：（1）由正方形和等边三角形的性质得出AB=AE，DC=DE，∠BAE=150°，∠CDE=150°，可证ΔBAE≌ΔCDE，即可证出BE=CE；（2）由（1）知：∠AEB=∠CED=15°，从而可求∠BEC的度数.试题解析：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形∴AB=AD=CD,∠BAD=∠ADC=90°∵三角形ADE为正三角形∴AE=AD=DE,∠EAD=∠EDA=60°∴∠BAE=∠CDE=150°∴ΔBAE≌ΔCDE∴BE=CE(2)∵AB=AD,AD=AE,∴AB=AE∴∠ABE=∠AEB又∵∠BAE=150°∴∠ABE=∠AEB=15°同理：∠CED=15°∴∠BEC=600－15°×2=30°11考点：1.正方形的性质；2.等边三角形的性质．考点典例六、等腰梯形的性质与判定（2015·山东潍坊，第14题，3分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC,BC=50，AB=20，∠B=60°,则AD=.【答案】30考点：1.等腰梯形的性质；2.平行四边形的判定与性质；3.等边三角形的判定与性质.【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，题目比较典型，难度适中．是基础知识要熟练掌握．【举一反三】1.如图，等腰梯形ABCD的周长为16，BC=4，CD=3，则AB=．【答案】5.【解析】试题分析：根据等腰梯形的性质可得出AD=BC，再由BC=4，CD=3，得出AB的长．试题解析：∵四边形ABCD为等腰梯形，∴AD=BC，∵BC=4，∴AD=4，12∵CD=3，等腰梯形ABCD的周长为16，∴AB=16-3-4-4=5.2.如图，等腰梯形ABCD中，对角线AC、DB相交于点P，∠BAC=∠CDB=90°，AB=AD=DC．则cos∠DPC的值是（）A．12B．22C．32D．33【答案】A．【解析】试题分析：∵梯形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB+∠BAC=180°，AD∥BC，∴∠DAP=∠ACB，∠ADB=∠ABD，∵AB=AD=DC，∴∠ABD=∠ADB，∠DAP=∠ACD，∴∠DAP=∠ABD=∠DBC，∵∠BAC=∠CDB=90°，∴3∠ABD=90°，∴∠ABD=30°，在△ABP中，∵∠ABD=30°，∠BAC=90°，∴∠APB=60°，∴∠DPC=60°，∴cos∠DPC=cos60°=12．故选A．课时作业☆能力提升一．选择题1．(2015.安徽省，第8题，4分)在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，13则一定有（）A．∠ADE＝20°B．∠ADE＝30°C．∠ADE＝12∠ADCD．∠ADE＝13∠ADC【答案】D.【解析】试题分析：设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°,即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13xy，即∠ADE=13∠ADC.故答案选D.考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理.