2016年全国卷解析几何典型题及方法

1解析几何典型题及方法复习讲解一、圆锥曲线的几类基本习题一.弦的中点问题具有斜率的弦中点问题，一般设曲线上两点为(,)xy11，(,)xy22，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数。例1给定双曲线xy2221。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点P1及P2，求线段P1P2的中点P的轨迹方程。例2已知椭圆xy22651，通过点（1，1）引一弦，使它在这点被平分，求此弦所在的直线方程。二.焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点F1、F2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。例3设P(x,y)为椭圆xayb22221上任一点，Fc10(,)，Fc20(,)为焦点，PFF12，PFF21。（1）求证离心率ecoscos22；（2）求tgtg22的值；（3）求|||PFPF1323的最值。2三.存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，分三步：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。例4已知椭圆C的方程xy22431，试确定m的取值范围，使得对于直线yxm4，椭圆C上有不同两点关于直线对称。例5为了使抛物线()yx112上存在两点关于直线ymx对称，求m的取值范围。四.两线段垂直问题圆锥曲线两焦半径互相垂直问题，常用kkyyxx1212121···来处理。例6已知直线l的斜率为k，且过点P(,)20，抛物线Cyx:()241，直线l与抛物线C有两个不同的交点（如图）。（1）求k的取值范围；（2）直线l的倾斜角为何值时，A、B与抛物线C的焦点连线互相垂直。例7经过坐标原点的直线l与椭圆()xy362122相交于A、B两点，若以AB为直径的圆恰好通过椭圆左焦点F，求直线l的倾斜角。二、直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题基本知识点：yBAP(-2,0)Ox3（1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。（2）注意韦达定理的应用。弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则ABxxyy()()1221221212kxx()[()]14212212kxxxx12ka（3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。（4）有关中点弦问题1已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。2有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。（5）有关圆锥曲线的对称问题若，是关于直线的对称点，则应抓住的中点在对称轴上及AA'lAAl''kkAAl1这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=±x+b对称。（6）圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。1若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。2若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。【例题选讲】例1.已知抛物线y2=2px(p0)。过动点M（a，0）且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B（）若，求的取值范围。12ABpa（2）若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。例2.已知椭圆的一个焦点为，，对应的准线方程为，且离心率Fye1022924()满足：，，成等比数列2343e（1）求椭圆方程；（2）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被直线x12平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。4例5.已知椭圆：（），是它的一条弦，点，是弦的中ExaybabABMAB22221021()点，若以M(2，1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4，-1)，且椭圆的离心率e与双曲线离心率e1之间满足ee1=1，（1）求椭圆E的离心率e；（2）求双曲线C的方程。yAMBOxN三、解析几何中减少计算量的常用方法在教学中，学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上，如果我们能够充分利用几何图形、韦达定理、曲线系方程，以及运用“设而不求”的策略，往往能够减少计算量。下面举例说明。一.充分利用几何图形解析几何的研究对象就是几何图形及其性质，所以在处理解析几何问题时，除了运用代数方程外，充分挖掘几何条件，并结合平面几何知识，这往往能减少计算量。例1.已知直线260280xyxy，及xy0，求它们所围成的三角形的外接圆方程。例2.已知点P（5，0）和圆O：xy2216，过P作直线l与圆O交于A、B两点，求弦AB中点M的轨迹方程。例3.求与x轴相切，圆心在直线30xy上，且被直线yx截得的弦长等于27的圆的方程。5例4.设直线340xym与圆xyxy2220相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，求m的值。二.充分利用韦达定理及“设而不求”的策略我们经常设出弦的端点坐标而不求它，而是结合韦达定理求解，这种方法在有关斜率、中点等问题中常常用到。例5.已知中心在原点O，焦点在y轴上的椭圆与直线yx1相交于P、Q两点，且OPOQ，||PQ102，求此椭圆方程。例6.若双曲线方程为xayb22221，AB为不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB中点，设AB、OM的斜率分别为kkABOM、，则kkbaABOM22三.充分利用曲线系方程利用曲线系方程可以避免求曲线的交点，因此也可以减少计算。例7.求经过两已知圆Cxyxy122420：和Cxyy22224：0的交点，且圆心在直线l：2410xy上的圆的方程。四、线段长的几种简便计算方法近几年的高考数学试题，都有运算量大的特点，解析几何部分显得尤为突出，而在解析几何题中，又6着重体现在求线段的长。若求线段长的计算方法不当，就会大大增加运算量，直接影响高考成绩。经笔者多年摸索，找到几种计算线段长的简便方法，写出来，供大家参考。一.充分利用现成结果，减少运算过程一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB长的方法是：把直线方程ykxb代入圆锥曲线方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的两根设为xA，xB，判别式为△，则||||ABkxxAB12·141222kxxxxkaABAB()||··△。记住了结果，在计算中，直接代||||ABka12·△，就能减少配方、开方等运算过程。例1求直线xy10被椭圆xy22416所截得的线段AB的长。二.结合图形的特殊位置关系，减少运算1.求直线与圆的相交弦因圆比较特殊，故求弦长不采用方法一，可用下面的方法，使运算简单。设直线方程为ykxm，圆的方程为()()xaybr222，圆心为(,)ab，直线与圆相交于A、B，圆心到直线的距离为dakbmk||12，则||ABrd222。例2求圆xyxy222430截得直线xy10的线段长。2.求过圆锥曲线焦点的弦圆锥曲线的定义都涉及焦点，结合图形运用圆锥曲线的定义，可回避复杂运算。例3如图1，F1、F2是椭圆xy222591的两个焦点，AB是经过F1的弦，若||AB8，则||||FAFB22_______________。三.将二元运算转化为一元运算，可简化运算1.用三角形相似比，把平面上两点间的距离转化为数轴上两点间的距离例5直线l与x轴不垂直，与抛物线yx22交于A、B两点，与椭圆xy2222交于C、D两点，与x轴交于点Mx(,)00，若||||ACBD，求x0的范围。2.利用圆锥曲线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离例6点A（3，2）为定点，点F是抛物线yx24的焦点，点P在抛物线y24x上移动，若||||PAPF取得最小值，求点P的坐标。7四.利用直线参数方程t的几何意义，简便运算利用直线参数方程t的几何意义，计算直线上经过同一点的两条线段的长。例7过点A（-2，4）引倾斜角为135o的直线交抛物线ypxp220()于P1P2两点，若||,||,||APPPAP1122成等比数列，求P的值。五.利用极坐标，简便运算在过原点的几条线段成一定角的关系中，用极坐标会使运算简便。例8P、Q是双曲线xaybab222210()上的两点，若OPOQ，求证：1122||||OQOP为定值。五、典型例题例2已知直线l与椭圆)0(12222babyax有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．例3已知双曲线12222byax的离心率332e，过),0(),0,(bBaA的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5kkxy交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求k的值.例4已知椭圆C的中心在原点，焦点F1、F2在x轴上，点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．8例5已知直线1xy与椭圆)0(12222babyax相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线02:yxl上.（１）求此椭圆的离心率；（2）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆422yx上，求此椭圆的方程.例6已知⊙M：xQyx是,1)2(22轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，（1）如果324||AB，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.例8直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于A),(),(2211yxByx和两点.（1）求证：2214pxx;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线.例9某工程要将直线公路l一侧的土石，通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路另一侧的P处，PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？