2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111AabBabCaabDaab且且且且（2）已知函数21,1ln,1xxfxxx，则fx的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxAFxBFxxxxxxxxxxxCFxDFxxxxxxx（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx的两个解，则qx（）2222313111xxAxxBxxCDxx（4）已知函数,0111,,1,2,1xxfxxnnnn，则（）（A）0x是fx的第一类间断点（B）0x是fx的第二类间断点（C）fx在0x处连续但不可导（D）fx在0x处可导（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（6）设二次型222123123121323,,444fxxxxxxxxxxxx，则123,,2fxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（C）柱面（7）设随机变量0,~2NX，记2XPp，则（）（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少（8）随机试验E有三种两两不相容的结果321,,AAA，且三种结果发生的概率均为31，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果1A发生的次数，Y表示2次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）__________cos1sin1lnlim200xdttttxx（10）向量场zkxyjizyxzyxA,,的旋度_________rotA（11）设函数vuf,可微，yxzz,由方程yzxfxyzx,122确定，则_________1,0dz（12）设函数21arctanaxxxxf，且10''f，则________a（13）行列式1000100014321____________.（14）设12,,...,nxxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域,221cos,22Drr，计算二重积分Dxdxdy.（16）（本题满分10分）设函数()yx满足方程20,yyky其中01k.证明：反常积分0()yxdx收敛；若'(0)1,(0)1,yy求0()yxdx的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足2(,)(21),xyfxyxex且(0,)1,tfyyL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tLfxyfxyItdxdyxy，并求()It的最小值（18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212（19）（本题满分10分）已知函数()fx可导，且(0)1f，10'()2fx，设数列nx满足1()(1,2...)nnxfxn，证明：（I）级数11()nnnxx绝对收敛；（II）limnnx存在，且0lim2nnx.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112AaBaaa当a为何值时，方程AXB无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A（I）求99A（II）设3阶矩阵23(,,)B满足2BBA，记100123(,,)B将123,,分别表示为123,,的线性组合。（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY在区域2,01,Dxyxxyx上服从均匀分布，令1,0,XYUXY（I）写出(,)XY的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；（III）求ZUX的分布函数()Fz.（23）设总体X的概率密度为其他,00,3,32xxxf，其中，0为未知参数，321,,XXX为来自总体X的简单随机样本，令321,,maxXXXT。（1）求T的概率密度（2）确定a，使得aT为的无偏估计