2013届高三数学(文科)期末综合练习2013-1-11

2013届青阳中学第一次调研考前训练（1）2013-1-111、集合mP,1，431xxQ，若QP，则整数m。2、在样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1600，则中间一组（即第五组）的频数为。3、若复数z满足(3)zzi（i是虚数单位），则复数z的虚部是。4、某算法的伪代码如右：则输出的结果是。5、4张卡片上分别写有数字0，1，2，3，从这4张卡片中一次随机抽取不同的2张，则取出的两张卡片上的数字之差的绝对值等于2的概率为。6、已知5,,36，若455sin,cos65613，则sin的值。7、已知B为双曲线22221(0,0)xyabab的左准线与x轴的交点，点(0,)Ab，若满足2APAB的点P在双曲线上，则该双曲线的离心率为。8、存在实数a，满足对任意的实数b，直线yxb都不是曲线33yxax的切线，则实数a的取值范围是。9、已知点O为△ABC的外心，且4AC，2AB，则AOBC的值等于。10、当且仅当arb时，在圆()xyrr2220上恰好有两点到直线2x+y+5=0的距离为1，则ab的值为。11、已知3,3A，O是原点，点P的坐标为（x，y）满足条件303200xyxyy，则||OAOPzOP的取值范围是。12、已知函数f(x)＝ax2＋bx＋14与直线y＝x相切于点A(1,1)，若对任意x∈[1,9]，不等式f(x－t)≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为______。13、数列na中,111,()211nnnnaaanNnna，则其前2012项的和为。14、定义R上的函数fx，12f，1fx，则不等式221fxx的解集为_。s←2i←1Whiles≤400i←i+2s←s×iEndWhilePrinti第4题样本数据频率组距10第题图15、如图：在平面直角坐标系中，锐角和钝角的终边分别与单位圆交于A、B两点。（1）若A、B两点的纵坐标分别为45、1213，求cos的值；（2）已知点1,3C，求函数fOAOC的值域。16、如图，在四棱锥PABCD中，AB∥DC，2DCAB，APAD，PB⊥AC，BD⊥AC，E为PD的中点．求证：（1）AE∥平面PBC；（2）PD⊥平面ACE。OxyBADCBAEP（第16题图）目17、一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)＝10.8－130x2，0x≤10108x－10003x2，x10(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得年利润最大。18、设数列na的前n项和为nS，且满足nnSa2，n=1,2,3,……。（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足b11，且nnnbba1，求数列nb的通项公式；（3）设()nncnb3，求数列nc的前n项和nT。19、已知圆O：822yx交x轴于BA,两点，曲线C是以AB为长轴，直线：4x为准线的椭圆。（1）求椭圆的标准方程；（2）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于QP,两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（3）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于HG,两点，且HEEG3，试求此时弦PQ的长。20、已知函数1ln()xfxx。（1）若函数()fx在区间(,1)aa上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程2()2fxxxk有实数解，求实数k的取值范围；（3）当*nN，2n时，求证：111()2231nfnnOxyABGHQMP7、过P作PD垂直于y轴垂足为DOB=a²/c则PD=2a²/c(相似比关系)即：P（-2a²/c，-b）P在双曲线上∴满足双曲线方程代入化简得c/a=√2即：双曲线的离心率为√28、由直线y=-x+b得直线斜率为-1，直线y=-x+b不与曲线f（x）相切知曲线f（x）上任一点斜率都不为-1，即f′（x）≠-1，求导函数，并求出其范围[-3a，+∞），得不等式-3a＞-1，即得实数a的取值范围．解答：解：设f（x）=x3-3ax，求导函数，可得f′（x）=3x2-3a∈[-3a，+∞），∵存在实数a，满足对任意的实数b，直线y=-x+b都不是曲线y=x3-3ax的切线，∴-1∉[-3a，+∞），∴-3a＞-1，即实数a的取值范围为a＜31故答案为：a＜319、设BC中点为P，则OP⊥BC，向量AO＝AP+POAO*BC＝（AP+PO）*BC＝AP*BC+PO*BC＝AP*BC＝1/2*(AB+AC）（AC-AB）＝1/2*(|AC|^2-|AB|^2)＝1/2*(16-4)=6已知函数f（x）=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A（1，1），若对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，则所有满足条件的实数t的值为2考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．专题：导数的概念及应用．分析：对f（x）进行求导，根据它与直线y=x相切于点A（1，1），可得f′（1）=0，可得把点A代入得到方程，求出a，b，求出f（x）的解析式，根据题意对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，根据根与系数的关系进行求解；解答：解：∵已知函数f（x）=ax2+bx+14与直线y=x相切于点A（1，1），f′（x）=2ax+b，∴f′（1）=0，可得2a+b=1①，又f（x）过点A（1，1）可得a+b+14=1②，联立方程①②可得a=14，b=12，f（x）=14x2+12x+14=14，对任意x∈[1，9]，不等式f（x-t）≤x恒成立，可得f（x-t）=14（x-t-1）2≤x，化简可得，x2-2x（t+1）+（t-1）2-4x≤0，在[1，9]上恒成立，令g（x）=x2-2x（t+1）+（t-1）2-4x，在[1，9]上恒成立，化简得g（x）=x2-x（2t+6）+（t+1）2，∴g(1)≤0①g(9)≤0②△≥0③，解①可得-2≤t≤2，解②可得2≤t≤14，解③可得t≥2综上可得：t=2，故答案为415、（1）根据三角函数的定义，利用单位圆，直接求出cosα和sinβ的值．（2）由题意判断α，β范围，求出cosα=35，cosβ=-513．利用两角差的余弦公式求解cos（β-α）的值．（3）求出函数f(α)=OA•OC的表达式，f(α)=OA•OC=2sin(α-π6)，根据α的范围，确定函数的值域．解答：解：（1）根据三角函数的定义，得sinα=45，sinβ=1213．又α是锐角，所以，cosα=35．（4分）（2）由（1）知，sinα=45，sinβ=1213．又α是锐角，β是钝角，所以cosα=35，cosβ=-513．19、已知圆O：822yx交x轴于BA,两点，曲线C是以AB为长轴，直线：4x为准线的椭圆。（1）求椭圆的标准方程；（2）若M是直线上的任意一点，以OM为直径的圆K与圆O相交于QP,两点，求证：直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（3）如图所示，若直线PQ与椭圆C交于HG,两点，且HEEG3，试求此时弦PQ的长。分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，则a=22a2cOxyABGHQMP=4，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为(x+2)2+(y-m2)2=m24+4，与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2，能够证明直线PQ必过定点E，并求出点E的坐标；（Ⅲ）设G（x1，y1），H（x2，y2），则x12+2y12=8x22+2y22=8，由EG=3HE，知（x1+2，y1）=3（-2-x2，-y2），由此入手能够求出弦PQ的长．解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)，则：a=22a2c=4，从而：a=22c=2，故b=2，所以椭圆的标准方程为x28+y24=1．（3分）（Ⅱ）设M（-4，m），则圆K方程为(x+2)2+(y-m2)2=m24+4与圆O：x2+y2=8联立消去x2，y2得PQ的方程为4x-my+8=0，过定点E（-2，0）．（7分）（Ⅲ）设G（x1，y1），H（x2，y2），则x12+2y12=8x22+2y22=8，①∵EG=3HE，∴（x1+2，y1）=3（-2-x2，-y2），即：x1=-8-3x2y1=-3y2，代入①解得：x2=-83y2=±23（舍去正值），∴kPQ=1，所以PQ：x-y+2=0，从而圆心O（0，0）到直线PQ的距离d=2，∴PQ=2R2-d2=26．20、已知函数1ln()xfxx。（1）若函数()fx在区间(,1)aa上有极值，求实数a的取值范围；（2）若关于x的方程2()2fxxxk有实数解，求实数k的取值范围；（3）当*nN，2n时，求证：111()2231nfnn解析:（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值⇒f′（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈（a，a+1）．（2）构造函数g（x）=x2-2x+k，若关于x的方程f（x）=x2-2x+k有实数解⇒f（x）=g（x）有实数解⇒g（x）min=g（1）≤f（x）max（法二）由f（x）=x2-2x+k分离系数k=1+lnxx+2x-x2，构造函数h（x）=1+lnxx+2x-x2，(x＞0)，由题意可得，k≤h（x）max．（3）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f(1n+1)＜f(1)=1⇒1+f(1+1n)＜1+f(1)⇒ln(n+1)-lnn＜1n，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．解答：解：（1）∵f(x)=1+lnxx，∴f′(x)=1x•x-(1+lnx)x2=-lnxx2∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0；∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数（3分）∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值．∴a＜1a+1＞1，解得0＜a＜1（2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x2-2x+k，所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k-1，又因为方程f（x）=x2-2x+k有实数解，那么k-1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2解法二：∵f（x）=x2-2x+k，∴k=1+lnxx+2x-x2，令h（x）=1+lnxx+2x-x2，所以h'（x）=-lnxx2+2-2x，当x=1时，h'（x）=0当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0∴当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2∴当方程f（x）=x2-2x+k有实数解时，k≤2．）（3）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+1n＞1(n∈N*，n≥2)，∴f(1+1n)＜f(1)=1，∴1+ln(1+1n)＜1+1n，即ln(n+1)-lnn＜1n∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+12+13+…+1n-1∴1+lnn＜2+12+13+…+1n-1而n•f（n）=1+lnn，nf(n)＜2+12+13+…+1n-1，结论成立1、已知某同学五次数学成绩分别是：121,127,123，a，125，若其平均成绩是124，则这组数据的方差是27、若向量(,