2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练24坐标系与参数方程理

1训练24坐标系与参数方程A组(供高考题型为选择、填空题的省份使用)1．在直角坐标系xOy中，已知点C(－3，－3)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(ρ，θ)(ρ0，－πθ0)可写为________．2．(2012·东莞模拟)在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是x＝sinα，y＝cosα＋1(α为参数)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为________．3．(2012·湖南五校模拟)在极坐标系中，点P2，－π6到直线l：ρsinθ－π6＝1的距离是________．4．在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为3，π3，4，π6，则△AOB(其中O为极点)的面积为________．5．极坐标方程ρ＝cosθ和参数方程x＝－1－t，y＝2＋3t(t为参数)所表示的图形分别是________．6．(2012·临川模拟)已知两曲线参数方程分别为x＝5cosθ，y＝sinθ(0≤θπ)和x＝54t2，y＝t(t∈R)，它们的交点坐标为________．7．直线x＝tcosα，y＝tsinα(t为参数)与圆x＝4＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________________.8．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ＋4cosθ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．9．(2012·北京东城模拟)已知抛物线C的参数方程为x＝8t2，y＝8t(t为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x－4)2＋y2＝r2(r0)相切，则r＝________.10．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sinθ与ρcosθ＝－1交点的极坐标为________．11．已知圆C的参数方程为x＝cosα，y＝1＋sinα(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ＝1，则直线l与圆C交点的直角坐2标为____________．12．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ2π)中，曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1与ρ(sinθ－cosθ)＝1的交点的极坐标为________．13．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，它与曲线x＝1＋2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)相交于两点A和B，则|AB|＝________.14．直线l的参数方程为x＝a＋t，y＝b＋t(t为参数)，l上的点P1对应的参数是t1，则点P1与P(a，b)之间的距离为________．15．圆心为C3，π6，半径为3的圆的极坐标方程为________．B组(供高考题型为解答题的省份使用)1．在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C2，π3，半径R＝5，求圆C的极坐标方程．2．(2012·盐城模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝22t＋1，y＝22t，求直线l与曲线C相交所成的弦的弦长．3.已知曲线C1：x＝－4＋cost，y＝3＋sint(t为参数)，C2：x＝8cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)．(1)化C1、C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝π2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x＝3＋2t，y＝－2＋t(t为参数)距离的最小值．4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1，M、N分别为C与x轴、y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．5．(2012·辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.3(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程．6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为x＝3－22t，y＝5＋22t(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝25sinθ.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，5)，求|PA|＋|PB|.参考答案训练24坐标系与参数方程A组1．解析依题意知，ρ＝23，θ＝－5π6.答案23，－5π62．解析依题意知，曲线C：x2＋(y－1)2＝1，即x2＋y2－2y＝0，所以(ρcosθ)2＋(ρsinθ)2－2ρsinθ＝0.化简得ρ＝2sinθ.答案ρ＝2sinθ3．解析依题意知，点P(3，－1)，直线l为：x－3y＋2＝0，则点P到直线l的距离为3＋1.答案3＋14．解析由题意得S△AOB＝12×3×4×sinπ3－π6＝12×3×4×sinπ6＝3.答案35．解析由ρ＝cosθ得ρ2＝ρcosθ，∴x2＋y2＝x，整理得x－122＋y2＝14，∴所表示的图形为圆．由x＝－1－t，y＝2＋3t得x＋1＝－t，y－2＝3t，消t得3x＋y＋1＝0，4∴所表示的图形为直线．答案圆，直线6．解析消去参数θ得曲线方程为x25＋y2＝1(0≤y≤1)，表示椭圆的一部分．消去参数t得曲线方程为y2＝45x，表示抛物线，可得两曲线有一个交点，联立两方程，解得交点坐标为1，255.答案1，2557．解析直线y＝xtanα，圆：(x－4)2＋y2＝4，如图，sinα＝24＝12，∴α＝π6或5π6.答案π6或5π68．解析将ρ＝2sinθ＋4cosθ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ，∴曲线的直角坐标方程为x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－4x－2y＝0.答案x2＋y2－4x－2y＝09．解析消去参数t得抛物线C的标准方程为y2＝8x，其焦点为(2,0)，所以过点(2,0)且斜率为1的直线方程为x－y－2＝0，由题意得r＝|4－2|2＝2.答案210．解析∵ρ＝2sinθ，∴x2＋y2＝2y.∵ρcosθ＝－1，∴x＝－1，∴两曲线交点的直角坐标为(－1,1)，∴交点的极坐标为2，3π4.答案2，3π411．解析圆C的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，直线l的直角坐标方程为y＝1.5x2＋y－2＝1，y＝1⇒x＝－1，y＝1或x＝1，y＝1.∴l与⊙C的交点的直角坐标为(－1,1)，(1,1)．答案(－1,1)，(1,1)12．解析曲线ρ(cosθ＋sinθ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sinθ－cosθ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组x＋y＝1，y－x＝1得x＝0，y＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为1，π2.答案1，π213．解析极坐标方程θ＝π4(ρ∈R)对应的平面直角坐标系中方程为y＝x，x＝1＋2cosα，y＝2＋2sinα(α为参数)⇒(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆心(1,2)，r＝2.圆心到直线y＝x的距离d＝|1－2|2＝22，|AB|＝2r2－d2＝24－12＝14.答案1414．解析|P1P|＝a＋t1－a]2＋b＋t1－b]2＝2t21＝2|t1|.答案2|t1|15．解析如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝θ－π6，|OA|＝2×3＝6，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|×cos∠POA，∴ρ＝6cosθ－π6.∴圆的极坐标方程为ρ＝6cosθ－π6.答案ρ＝6cosθ－π6B组1．解将圆心C2，π3化成直角坐标为(1，3)，半径R＝5，故圆C的方程为(x－1)26＋(y－3)2＝5.再将C化成极坐标方程，得(ρcosθ－1)2＋(ρsinθ－3)2＝5，化简得ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0.此即为所求的圆C的极坐标方程．2．解曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.直线l的参数方程x＝22t＋1，y＝22t，化为普通方程为x－y－1＝0，曲线C的圆心(2,0)到直线l的距离为12＝22，所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长为24－12＝14.3．解(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：x264＋y29＝1.C1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝π2时，P(－4,4)，Q(8cosθ，3sinθ)，故M－2＋4cosθ，2＋32sinθ.C3为直线x－2y－7＝0，M到C3的距离d＝55|4cosθ－3sinθ－13|.从而当cosθ＝45，sinθ＝－35时，d取得最小值855.4．解(1)由ρcosθ－π3＝1得ρ12cosθ＋32sinθ＝1.从而C的直角坐标方程为12x＋32y＝1，即x＋3y＝2.θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．7θ＝π2时，ρ＝233，所以N233，π2.(2)M点的直角坐标为(2,0)，N点的直角坐标为0，233.所以P点的直角坐标为1，33，则P点的极坐标为233，π6，所以直线OP的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．5．解(1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程ρ＝4cosθ.解ρ＝2，ρ＝4cosθ得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C1与圆C2交点的坐标为2，π3，2，－π3.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)法一由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝t()－3≤t≤3.或参数方程写成x＝1，y＝y－3≤y≤3法二将x＝1代入x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得ρcosθ＝1，从而ρ＝1cosθ.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为x＝1，y＝tanθ－π3≤θ≤π3.6．解法一(1)由ρ＝25sinθ，得x2＋y2－25y＝0，即x2＋(y－5)2＝5.(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得3－22t2＋22t2＝5，即t2－32t＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝20，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1＋t2＝32，t1·t2＝4.又直线l过点P(3，5)，8故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝32.法二(1)同法一．(2)因为圆C的圆心为(0，5)，半径r＝5，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋5.由x2＋y－52＝5，y＝－x＋3＋5得x2－3x＋2＝0.解得：x＝1，y＝2＋5或x＝2，y＝1＋5.不妨设A(1,2＋5)，B(2,1＋5)，又点P的坐标为(3，5)故|PA|＋|PB|＝8＋2＝32.