2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练3不等式及线性规划问题理

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1训练3不等式及线性规划问题(时间:45分钟满分:75分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2012·济南市3月模拟)若a>b,则下列不等式恒成立的是().A.a3>b3B.lga>lgbC.12a>12bD.1a<1b2.(2012·德州期末考试)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|2<x<4},则不等式cx2+bx+a<0的解集为().A.xx>12B.xx<14C.x12<x<14D.xx>12或x<143.已知a>0,b>0,a+b=2,则y=1a+4b的最小值是().A.72B.4C.92D.54.设a>0,则函数f(x)=4x+ax≥42(x>0)成立的一个充分不必要条件是().A.a≥2B.a=1C.a=4D.a≤35.(2012·荆门等八市联考)若实数x,y满足2x-y≥0,y≥x,y≥-x+b,且z=2x+y的最小值为4,则实数b的值为().A.0B.2C.3D.4二、填空题(每小题5分,共15分)26.(2012·宁波鄞州区适应性考试)已知点A(m,n)在直线x+2y-1=0上,则2m+4n的最小值为________.7.已知a=(m,1),b=(1-n,1)(其中m、n为正数),若a∥b,则1m+2n的最小值是________.8.(2012·福州质检)设二元一次不等式组x+2y-19≥0,x-y+8≥0,2x+y-14≤0所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是________.三、解答题(本题共3小题,共35分)9.(11分)如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36m长的钢筋网材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?10.(12分)(2012·温州八校联考)已知函数f(x)=ex+2x2-3x.(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)当x≥12时,若关于x的不等式f(x)≥52x2+(a-3)x+1恒成立,试求实数a的取值范围.11.(12分)(2010·湖南)已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R),对任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).(1)证明:当x≥0时,f(x)≤(x+c)2;(2)若对满足题设条件的任意b,c,不等式f(c)-f(b)≤M(c2-b2)恒成立,求M的最小值.参考答案训练3不等式及线性规划问题1.A[当a<0,b<0时,lga,lgb无意义,所以B不正确;当a>b时,12a<12b,所以C不正确;当a>0,b<0时,1a>1b,所以D不正确.]32.D[由已知a<0,把2和4看作方程ax2+bx+c=0的两个根,则-ba=6,ca=8,∴b=-6a,c=8a,即cx2+bx+a<0⇔8ax2-6ax+a<0.∵a<0,∴8x2-6x+1>0,解得:x>12或x<14.]3.C[∵a+b=2,∴y=1a+4b=1a+4b·a+b2=121+ba+4ab+4≥125+2ba·4ab=92.]4.C[由f(x)=4x+ax≥4a≥42,得a≥2,所以选C.]5.C[画出可行域可知y=-2x+z过b3,2b3时z取得最小值,所以2×b3+2b3=4,b=3.]6.解析因为点A(m,n)在直线x+2y-1=0上,所以有m+2n=1;2m+4n=2m+22n≥22m·22n=22m+2n=22.答案227.解析向量a∥b的充要条件是m×1=1×(1-n),即m+n=1,故1m+2n=(m+n)1m+2n=3+nm+2mn≥3+22.答案3+228.解析因为二元一次不等式组x+2y-19≥0,x-y+8≥0,2x+y-14≤0所表示的平面区域为M,如图阴影部分且左、右两端点坐标分别为P(1,9),Q(3,8),由函数y=ax的图象经过区域M,如图所示.则由图象可知a1≤9,a3≥8,即2≤a≤9.4所以a的取值范围是[2,9].答案[2,9]9.解设每间虎笼的长、宽分别为xm、ym.则s=xy.(1)由题意知:4x+6y=36.∴2x+3y=18.又2x+3y≥26xy,∴xy≤x+3y224=18224=272,当且仅当2x=3y=9,即x=4.5,y=3时,s=xy最大,∴每间虎笼的长为4.5m,宽为3m时,每间虎笼面积最大.(2)由题意知xy=24,4x+6y≥224·xy=48,当且仅当4x=6y时,取得等号.由4x=6y,xy=24,得x=6,y=4.∴每间虎笼的长为6m,宽为4m时,可使钢筋网总长最小.10.解(1)f′(x)=ex+4x-3,则f′(1)=e+1,又f(1)=e-1,∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e+1=(e+1)(x-1),即(e+1)x-y-2=0.(2)由f(x)≥52x2+(a-3)x+1,得ex+2x2-3x≥52x2+(a-3)x+1,即ax≤ex-12x2-1.∵x≥12,∴a≤ex-12x2-1x.令g(x)=ex-12x2-1x,则g′(x)=exx--12x2+1x2.令φ(x)=ex(x-1)-12x2+1,5则φ′(x)=x(ex-1).∵x≥12,∴φ′(x)>0,∴φ(x)在12,+∞上单调递增,∴φ(x)≥φ12=78-12e>0,因此g′(x)>0,故g(x)在12,+∞上单调递增,则g(x)≥g12==2e-94,∴a的取值范围是-∞,2e-94.11.(1)证明易知f′(x)=2x+b.由题设,对任意的x∈R,2x+b≤x2+bx+c,即x2+(b-2)x+c-b≥0恒成立,所以(b-2)2-4(c-b)≤0,从而c≥b24+1.于是c≥1,且c≥2b24×1=|b|,因此2c-b=c+(c-b)>0.故当x≥0时,有(x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)≥0.即当x≥0时,f(x)≤(x+c)2.(2)解由(1)知c≥|b|.当c>|b|时,有M≥fc-fbc2-b2=c2-b2+bc-b2c2-b2=c+2bb+c.令t=bc,则-1<t<1,c+2bb+c=2-11+t.而函数g(t)=2-11+t(-1<t<1)的值域是-∞,32.因此,当c>|b|时,M的取值集合为32,+∞.当c=|b|时,由(1)知b=±2,c=2.此时f(c)-f(b)=-8或0,c2-b2=0,从而f(c)-f(b)≤32(c2-b2)恒成立.综上所述,M的最小值为32.

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