2013届高三理科数学二轮复习专题能力提升训练17与圆锥曲线有关的定点定值最值范围问题

训练17与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题(时间：45分钟满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2012·北京东城模拟)已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点()．A．(2,0)B．(1,0)C．(0,1)D．(0，－1)2．设AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中心的弦，椭圆的左焦点为F1(－c,0)，则△F1AB的面积最大为()．A．bcB．abC．acD．b23．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是()．A．(1,2)B．(－1,2)C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)4．(2012·烟台诊断)若AB是过椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与两坐标轴均不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝()．A．－c2a2B．－b2a2C．－c2b2D．－a2b25．(2012·台州二模)已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则|AF||BF|的值为()．A．5B．4C．3D．2二、填空题(每小题5分，共15分)6．点P在抛物线x2＝4y的图象上，F为其焦点，点A(－1,3)，若使|PF|＋|PA|最小，则相应P的坐标为________．7．(2012·宝鸡一检)若双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率是2，则b2＋13a的最小值为________．[来源:学*科*网]8．(2012·镇江调研(一))已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2＋y2b2＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，且PF1→·PF2→＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．三、解答题(本题共3小题，共35分)9．(11分)(2012·陕西五校二模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝33，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切，A，B分别是椭圆的左右两个顶点，P为椭圆C上的动点．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P与A，B均不重合，设直线PA与PB的斜率分别为k1，k2，证明：k1·k2为定值．[来源:学#科#网Z#X#X#K]10．(12分)(2012·德州一模)设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个顶点与抛物线：x2＝42y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e＝33，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点．(1)求椭圆C的方程；[来源:Zxxk.Com](2)是否存在直线l，使得OM→·ON→＝－1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．11．(12分)(2012·辽宁)如图，椭圆C0：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t21，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点，C1与C0相交于A，B，C，D四点．[来源:学#科#网Z#X#X#K](1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2＋y2＝t22与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，证明：t21＋t22为定值．参考答案训练17与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题1．B[因为动圆的圆心在抛物线y2＝4x上，且x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)，所以选B.]2．A[如图，由椭圆对称性知O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半．又OF1＝c，△F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值为b.所以△F1OB的面积最大值为12cb.所以△F1AB的面积最大值为cb.]3．D[由题意知，双曲线的渐近线y＝bax的斜率需大于或等于3，即ba≥3.∴b2a2≥3，c2a2≥4，∴ca≥2，即e≥2.]4．B[(特殊值法)因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－b2a2.]5．C[由题意设直线l的方程为y＝3x－p2，即x＝y3＋p2，代入抛物线方程y2＝2px中，整理得3y2－2py－3p2＝0，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，则yA＝3p，yB＝－33p，所以|AF||BF|＝yAyB＝3.]6．解析由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离，所以过点A作抛物线准线的垂线，与抛物线的交点－1，14即为所求点P的坐标，此时|PF|＋|PA|最小．答案－1，147．解析由离心率e＝2得，ca＝2，从而b＝3a＞0，所以b2＋13a＝3a2＋13a＝a＋13a≥2a·13a＝213＝233，当且仅当a＝13a，即a＝33时，“＝”成立．答案2338．解析设P(x，y)，则PF1→·PF2→＝(－c－x，－y)·(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2，①将y2＝b2－b2a2x2代入①式解得x2＝3c2－a2a2c2，又x2∈[0，a2]，所以2c2≤a2≤3c2，所以离心率e＝ca∈33，22.答案33，229．(1)解由题意可得圆的方程为x2＋y2＝b2，∵直线x－y＋2＝0与圆相切，∴d＝22＝b，即b＝2，又e＝ca＝33，即a＝3c，a2＝b2＋c2，解得a＝3，c＝1，所以椭圆方程为x23＋y22＝1.(2)证明设P(x0，y0)(y0≠0)，A(－3，0)，B(3，0)，则x203＋y202＝1，即y20＝2－23x20，则k1＝y0x0＋3，k2＝y0x0－3，即k1·k2＝y20x20－3＝2－23x20x20－3＝233－x20x20－3＝－23，∴k1·k2为定值－23.10．解(1)椭圆的顶点为(0，2)，即b＝2.e＝ca＝1－b2a2＝33，解得a＝3，∴椭圆的标准方程为x23＋y22＝1.(2)由题可知，直线l与椭圆必相交．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意．②设存在直线l为y＝k(x－1)，且M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x23＋y22＝1，y＝kx－1得(2＋3k2)x2－6k2x＋3k2－6＝0.x1＋x2＝6k22＋3k2，x1·x2＝3k2－62＋3k2，OM→·ON→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝3k2－62＋3k2＋k23k2－62＋3k2－6k22＋3k2＋1＝－k2－62＋3k2＝－1.所以k＝±2，故直线l的方程为y＝2(x－1)或y＝－2(x－1)．11．(1)解设A(x1，y1)，B(x1，－y1)，又知A1(－a,0)，A2(a,0)，则直线A1A的方程为y＝y1x1＋a(x＋a)，①直线A2B的方程为y＝－y1x1－a(x－a)．②由①②得y2＝－y21x21－a2(x2－a2)．③[来源:学科网ZXXK]由点A(x1，y1)在椭圆C0上，故x21a2＋y21b2＝1.从而y21＝b21－x21a2，代入③得x2a2－y2b2＝1(x＜－a，y＜0)．(2)证明设A′(x2，y2)，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2||y2|，故x21y21＝x22y22.因为点A，A′均在椭圆上，所以b2x211－x21a2＝b2x221－x22a2.由t1≠t2，知x1≠x2，所以x21＋x22＝a2.从而y21＋y22＝b2，因此t21＋t22＝a2＋b2为定值．