2013届高三数列复习题

数列复习题一、选择题1.设an＝－n2＋17n＋18，则数列{an}从首项到第几项的和最大()A.17B.18C.17或18D.19答案：C解析：令an≥0，得1≤n≤18.∵a18＝0，a170，a190，∴到第18项或17项和最大．2.等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝4，a2＋a3＋a4＝－2，则a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝()A.2116B.1916C.98D.78答案：D解析：由于q＝a2＋a3＋a4a1＋a2＋a3＝－24＝－12，所以a3＋a4＋a5＝(a2＋a3＋a4)×(－12)＝1，a6＋a7＋a8＝(a3＋a4＋a5)×(－12)3＝－18，于是a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝78.3．数列1，11＋2，11＋2＋3，…，11＋2＋…＋n，…的前n项和为()A.2n2n＋1B.2nn＋1C.n＋2n＋1D.n2n＋1答案：B解析：an＝11＋2＋…＋n＝2nn＋1＝2n－2n＋1，∴Sn＝(21－22)＋(22－23)＋(23－24)＋…＋(2n－2n＋1)＝2(1－1n＋1)＝2nn＋1.4．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1，Sn为数列{an}的前n项和，令bn＝1Sn＋n，则数列{bn}的前n项和Tn的取值范围为()A．[12，1)B．(12，1)C．[12，34)D．[23，1)答案：A解析：∵a1＝1，∴Sn＝1＋2n－12n＝n2，bn＝1Sn＋n＝1nn＋1＝1n－1n＋1，则{bn}的前n项和Tn＝1－1n＋1∈[12，1)．5．(2010·皖南联考)今年“十一”迎来祖国60周年华诞，北京十家重点公园将举行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，接下来的第一个30分钟内有4人进去1人出来，第二个30分钟内有8人进去2人出来，第三个30分钟内有16人进去3人出来，第四个30分钟内有32人进去4人出来……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是()A．211－47B．212－57C．213－68D．214－80答案：B解析：由题意可知，从早晨6时30分开始，接下来的每个30分钟内进入的人数构成以4为首项，2为公比的等比数列，出来的人数构成以1为首项，1为公差的等差数列，记第n个30分钟内进入公园的人数为an，第n个30分钟内出来的人数为bn，则an＝4×2n－1，bn＝n，则上午11时30分公园内的人数为S＝2＋41－2101－2－101＋102＝212－57，所以答案为B.6.设f(x)是定义在R上恒不为0的函数，对任意x，y∈R，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y)，若a1＝12，an＝f(n)(n为常数)，则数列{an}的前n项和Sn的取值范围是()A.[12，2)B.[12，2]C.[12，1]D.[12，1)答案：D解析：f(2)＝f2(1)，f(3)＝f(1)f(2)＝f3(1)，f(4)＝f(1)f(3)＝f4(1)，a1＝f(1)＝12，∴f(n)＝(12)n，Sn＝121－12n1－12＝1－12n∈[12，1)．二、填空题7．设正整数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝12(an＋1an)，推测an的表达式为________．答案：an＝n－n－1解析：∵a1＝12(a1＋1a1)，∴a1＝1.又∵S2－S1＝a2＝12(a2＋1a2)－1，即2(a2＋1)＝a2＋1a2，∴a2＝2－1，同理：2(a3＋2)＝a3＋1a3，∴a3＝3－2，…，∴an＝n－n－1.8.设关于x的不等式x2－x2nx(n∈N*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________．答案：10100解析：由x2－x2nx(n∈N*)得0x2n＋1，因此an＝2n，所以数列{an}是一个等差数列，所以S100＝100×2＋2002＝10100.9．等差数列{an}的公差不为零，a4＝7，a1，a2，a5成等比数列，数列{Tn}满足条件Tn＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n，则Tn＝________.答案：2n＋2－n－4解析：设{an}的公差为d≠0，由a1，a2，a5成等比数列，得a22＝a1a5，即(7－2d)2＝(7－3d)(7＋d)∴d＝2或d＝0(舍去)．∴an＝7＋(n－4)×2＝2n－1.又a2n＝2·2n－1＝2n＋1－1，∴Tn＝(22－1)＋(23－1)＋(24－1)＋…＋(2n＋1－1)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－n＝2n＋2－n－4.三、解答题10．(2010·福建质检一)在等差数列{an}中，a1＝1，Sn为前n项和，且满足S2n－2Sn＝n2，n∈N*.(1)求a2及{an}的通项公式；(2)记bn＝n＋qan(q0)，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)令n＝1，由S2n－2Sn＝n2得S2－2S1＝12，即a1＋a2－2a1＝1.又∵a1＝1，∴a2＝2，∴公差d＝1.∴an＝1＋(n－1)·1＝n.(2)由(1)得bn＝n＋qn，若q≠1，则Tn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋(q1＋q2＋…＋qn)＝nn＋12＋q1－qn1－q.若q＝1，则bn＝n＋1，Tn＝n·b1＋bn2＝nn＋32.11.等差数列{an}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为Sn，{bn}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.(1)求an与bn；(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则d为正数，an＝3＋(n－1)d，bn＝qn－1.依题意有S2b2＝6＋dq＝64，S3b3＝9＋3dq2＝960，解得d＝2q＝8或d＝－65，q＝403.(舍去)故an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝8n－1.(2)Sn＝3＋5＋…＋(2n＋1)＝n(n＋2)，所以1S1＋1S2＋…＋1Sn＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn＋2＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－1n＋2)＝12(1＋12－1n＋1－1n＋2)＝34－2n＋32n＋1n＋2.12.(2010·陕西质检二)已知数列{an}满足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2，n∈N*)，且当λ＝2，或λ＝－3时，数列{an＋1＋λan}是等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设3nbn＝n(3n－an)且|b1|＋|b2|＋…＋|bn|m对于任意n∈N*恒成立，求m的取值范围．解：(1)当λ＝2时，可得a3＋2a2a2＋2a1＝4515＝3，故数列{an＋1＋2an}为首项是a2＋2a1＝15，公比为3的等比数列，则an＋1＋2an＝15·3n－1.①当λ＝－3时，可得a3－3a2a2－3a1＝20－10＝－2，故数列{an＋1－3an}是首项为a2－3a1＝－10，公比为－2的等比数列，∴an＋1－3an＝－10·(－2)n－1.②①－②得，an＝3n－(－2)n.(2)∵3nbn＝n(3n－an)＝n[3n－3n＋(－2)n]＝n(－2)n，∴bn＝n(－23)n.令Sn＝|b1|＋|b2|＋…＋|bn|，则Sn＝23＋2×(23)2＋3×(23)3＋…＋n×(23)n，③∴23Sn＝(23)2＋2×(23)3＋…＋(n－1)×(23)n＋n×(23)n＋1，④③－④可得，13Sn＝23＋(23)2＋(23)3＋…＋(23)n－n(23)n＋1＝23[1－23n]1－23－n(23)n＋1＝2[1－(23)n]－n(23)n＋1.∴Sn＝6[1－(23)n]－3n(23)n＋16.要使得|b1|＋|b2|＋…＋|bn|m对于任意n∈N*恒成立，只需m≥6，∴m的取值范围是[6，＋∞)．