2013届高三文科数学一轮复习之数列

数学讲义之数列【考纲】数列的概念和表示法了解数列的概念和几种表示方法（列表、图像、通项公式）等差数列、等比数列理解等差数列、等比数列的概念掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系能利用等差、等比数列前n项和公式极其性质求一些特殊数列的和能利用数列的等差关系或等比关系解决实际问题【主干内容】1.等差数列的通项公式：①an＝a1＋____×d②（推广公式）an＝am＋______×d2.若﹛an﹜为等差数列，m,n,p,q∈N*，若m＋n＝p＋q，则______________3.等差数列的前n项和公式：Sn＝＝4.等差数列{an}的前n项和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列5.等比数列的通项公式：①an＝a1qn－1②an＝amqn－m6.等比数列的前n项和公式：Sn＝)1()1(qq7.等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b²＝________8.类比第3、4条等差数列性质，得：____________________________________________________________________________________________________________________【题型分类】题型一：等差、等比数列的判定〖例1〗已知数列{an}满足a1＝2a，an＝2a－12naa（n≥2）．其中a是不为0的常数，令bn＝aan1。求证：数列{bn}是等差数列。解：∵an＝2a－12naa(n≥2)∴bn＝)(111112aaaaaaaaannnn(n≥2)∴bn－bn－1＝aaaaaaannn11)(111(n≥2)∴数列{bn}是公差为a1的等差数列．〖例2〗已知公比为3的等比数列nb与数列na满足*,3Nnbnan，且11a，判断na是何种数列，并给出证明。解：1111333,13nnnnaaannnanbaab，即na为等差数列。注意！！！欲证{an}为等差数列，最常见的做法是证明：an＋1－an＝(d是一个与n无关的常数)同理：证明等比数列即bn+1/bn=q(bn不可为0，q是一个与n无关的常数)题型二：等差、等比数列的基本运算〖例1〗已知数列}{na是等比数列，且4622aaa，则53aaA．1B．2C．4D．8〖例2〗（2010浙江）设1S为等比数列na的前n项和，122280SaaS，则A．－11B．－8C．5D．11〖例3〗数列{}na满足122,1,aa并且1111(2)nnnnnnnnaaaanaaaa，则数列{}na的第100项为A．10012B．5012C．1100D．150〖例4〗黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案则第n个图案中有白色地面砖的块数是（）A.33nB.42nC.24nD.42n第1个第2个第3个题型三：求数列的通项公式〖例1〗根据下面数列{an}的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)⑵a1＝1，an＝113nna(n≥2)⑶a1＝1，an＝11nann(n≥2)解：⑴an＝2an－1＋1(an＋1)＝2(an－1＋1)(n≥2)，a1＋1＝2．故：a1＋1＝2n，∴an＝2n－1．⑵an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n－1＋3n－2＋…＋33＋3＋1＝)13(21n．(3)∵nnaann11∴an＝12111232211nnnnaaaaaaaaannnnnnnnn112123◎变式训练：◎已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝22nnaa(n∈N*)，求该数列的通项公式。解：方法一：由an＋1＝22nnaa得21111nnaa，∴{na1}是以111a为首项，21为公差的等差数列．∴na1＝1＋(n－1)·21,即an＝12n方法二：求出前5项，归纳猜想出an＝12n，然后用数学归纳证明．〖例2〗设数列{an}的前n项和为Sn，其中任意n∈N*，都有Sn＝2an－3n求数列{an}的通项公式。注意！！！1.由Sn求an时，用公式an＝Sn－Sn－1要注意n≥2这个条件，a1应由a1＝S1来确定，最后看二者能否统一。2.由递推公式求通项公式的常见形式有：an＋1－an＝f(n)，nnaa1＝f(n)，an＋1＝pan＋q，分别用累加法、累乘法、迭代法（或换元法）。题型四：数列求和〖例1〗已知数列：1，211，41211，8141211，…，12141211n，求它的前n项的和Sn．解：∵an＝1＋21＋41＋……＋121n＝nn2112211211∴an＝2－121n则原数列可以表示为：(2－1)，212，2212，3212，…1212n前n项和Sn＝(2－1)＋212＋2212＋…＋1212n＝2n－122121211n＝2n－211211n＝2n－2n211＝121n＋2n－2〖例2〗求Sn＝1＋211＋3211＋…＋n...3211．解：∵an＝n3211＝)1(2nn＝2(n1－11n)∴Sn＝2(1－21＋21－31＋…＋n1－11n)＝12nn)1(1nn〖例3〗设数列{an}的前n项和为Sn＝2n2，{bn}为等比数列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1。⑴求数列{an}和{bn}通项公式．⑵设Cn＝nnba，求数列{Cn}前n项和Tn．解：（1）当n＝1时a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－2，故{an}通项公式为an＝4n－2，即{an}是a1＝2，d＝4的等差数列，设{bn}的公比为q，则b1qd＝b1，d＝4，∴q＝41，故bn＝b1qn－1＝142n（2）∵Cn＝nnba＝14)12(14224nnnn∴Tn＝C1＋C2＋…＋Cn＝1＋3×4＋5×42＋…＋（2n－1）4n－1∴4Tn＝1×4＋3×42＋5×43＋…＋（2n－3）4n－n＋（2n－1）4n两式相减3Tn＝]54)56[(31nn∴Tn＝]54)56[(91nn注意！！！求和方法技巧介绍Ⅰ倒序相加，例如等差数列前n项和公式的推导Ⅱ累加法或累乘法，常与裂项法一起使用Ⅲ分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列。Ⅳ错位相消：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项构成的数列求和。（也可称为差比数列求和法）Ⅴ裂项相消：利用前后对称，正负相消来达到求和目的。常见拆项公式有：＝(n1－11n)（1）（2）11nn＝nn1【好题速递】1.已知等差数列na的公差为1，且27126aaa，（1）求数列na的通项公式na与前n项和nS；（2）将数列na的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列nb的前3项,记nb的前n项和为nT,若存在*Nm，使对任意nN总有nmST恒成立，求实数的取值范围。2.设nT为数列｛an｝的前n项的积，且)()32(*2NnTnn。（1）求数列｛an｝的通项公式；kk**ss**55**uu（2）若的等差中项与是nnnaba112812，求使0nb成立的最小正整数n。3.设a1，d为实数，首项为a1，z差为d的等差数{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0。（Ⅰ）若S5＝5．求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。4.