2013届高二下学期期中考试数学(理科)

12013届高二下学期期中考试数学（理）一．选择题（每小题5分，共40分）1．复数311iz对应的点在（）A．第一象限B．第二象限c．第三象限D．第四象限2.已知集合11{|()}24xAx，2{|log(1)2}Bxx，则AB等于（）A．（-∞，5）B．（-∞，2）C．（1，2）D．2,53．已知平面向量(1,2),(2,)abm，且//ab，则m的值为（）A．-4B．-1C．4D．14．设a,b是两条直线，,是两个平面，则ab的一个充分条件是（）A．,//,abB．,,//abC．,,//abD．,//,ab5．函数2sincos3cos3yxxx的图像的一条对称轴是（）A．3xB．6xC．12xD．4x6.某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x值为31，则a等于（）A.0B.1C.2D.37．下列命题中是假命题．．．的是()A.),0(,)1()(,342且在是幂函数使mmxmxfmR上递减B．有零点函数axxxfalnln)(,02C．sincos)cos(,,使RD．)2sin(,xy函数R都不是偶函数8.对于三次函数32()(0)fxaxbxcxda，给出定义：设'()fx是函数()yfx的导数，()fx是'()fx的导数，若方程''()0fx有实数解0x，则称点00(,())xfx为函数()yfx的“拐点”。某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设2函数12532131)(g23xxxx，则20132012...2013220131ggg=()A.2011B.2012C.2013D.2014二．填空题（每小题5分，共30分）9.已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如图，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5,则该几何体的体积为10．若变量x，y满足约束条件1,,236,xyxxy则2zxy的最小值为11．已知抛物线)0(22ppxy的准线与圆05422xyx相切，则P值为.12．已知{}na为等比数列，且2114,8aa，则21212logaaa．13．与直线1l：012ymmx垂直于点P（2，1）的直线2l的方程为14.某单位为了制定节能减排目标，先调查了用电量y（单位：度）与气温x（单位：0C）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：由表中数据，得线性回归直线方程2yxb，当气温不低于05时，预测用电量最多为度.x1813101y243438643三．解答题（共80分）15.（本小题满分12分）如图，角A为钝角，且53sinA，点P、Q分别是在角A的两边上不同于点A的动点.（1）若AP=5，PQ=35，求AQ的长；（2）设)2sin(,1312cos,,求且AQPAPQ的值.16．（本小题满分12分）已知实数a0，函数)()2()(2Rxxaxxf有极大值8。（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；（Ⅱ）求实数a的值。17．在如图所示的四棱锥PABCD中，已知PA平面,//,90,ABCDABDCDABPAAD1,2,DCABM为PB的中点。（1）求证：//MCPAD平面；（2）求证：平面PAC平面PBC；（3）求直线MC与平面PAC所成角的余弦值。418.（本题满分14分）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为12；直线l过点(4,0)A，(0,2)B，且与椭圆C相切于点P.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）是否存在过点(4,0)A的直线m与椭圆C相交于不同的两点M、N，使得23635APAMAN?若存在，试求出直线m的方程；若不存在,请说明理由.19.（本小题满分14分）已知数列{},{}nnab中，111ab，且当2n时，10nnana，1122nnnbb.记n的阶乘(1)(2)321nnnn！（1）求数列{}na的通项公式；（2）求证：数列{}2nnb为等差数列；（3）若22nnnnnacba，求{}nc的前n项和.20．（本题满分14分）已知函数()ln(1)fxxmx，当0x时，函数()fx取得极大值.（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）已知结论：若函数()ln(1)fxxmx在区间(,)ab内导数都存在，且1a，则存在0(,)xab，使得0()()()fbfafxba。试用这个结论证明：若121xx，函数121112()()()()()fxfxgxxxfxxx，则对任意12(,)xxx，都有()()fxgx。5参考答案一．选择题：DCABCDDB二．填空题：9.4310.311.212.3013.30xy14.7015.解：（1）A是钝角，3sin5A，4cos5A……………………1分在APQ中，由余弦定理得：2222cosPQAPAQAPAQA所以28200AQAQ……………………4分解得2AQ或10（舍去负值），所以2AQ…………………………6分（2）由135sin,1312cos得………………………7分在三角形APQ中，A又3sin()sin()sin,5AA………………………8分4cos()cos5A…………………………9分sin(2)sin[()]sincos()cossin()……11分655653131254135………………………1216．（Ⅰ）∵axaaxxf44)(23∴.483)(2aaxaxxf令0)(xf得04832aaxax∵.0483,02xxa∴232xx或∵a0，∴当.0)(),2()32,(xfxx时或∴函数)(xf的单调递增区间为),2[]32,(和当0)()2,32(xfx时，，∴函数)(xf的单调递减区间为]2,32[…………8分（Ⅱ）∵0)()32,(xfx时0)()2,32(xfx时，，0)(),2(xfx时∴32)(xxf在时，取得极大值。…………10分6即8)232(322a解得.427a…………12分17.解：解法一.（1）M是PB的中点，取PA的中点E，则ME12AB，又CD12AB…………………………1分∴四边形CDEM为平行四边形，∴EDCM//，CM面PAD，ED面PAD……………………2分//CMPAD平面.………………………………………………3分（2）以A为原点，AD、AB、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，………………………………………………………………………4分则D（1，0，0），C（1,1，0），B（0，2，0），P（0,0，1），M（0，1,12），AP＝（0,0，1），AC＝（1,1，0），则面PAC的法向量为1n＝（－1,1，0）………5分BP＝（0，－2,1），BC＝（1，－1,0），则面PBC的法向量为2n＝（1,1，2）………6分而1n·2n＝－1＋1＝0，面PAC⊥面PBC.…………………………………7分（3）设直线MC与平面PAC所成的角为，CM＝（－1,0，12），……8分则sin＝11||||||nCMnCM＝1522＝105……………………………………10分∴cos＝155.…………………………………………………………12分解法二：（1）同上.…………………………………………………3分（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，……………………………………………4分又AC2+BC2=2+2=AB2，∴ACBC，……………………………………………5分∵APAAC∴BC⊥平面PAC，……………………………………………6分又BC⊂平面PBC，7所以平面PAC⊥平面PBC；………………………………………7分（3）解：取PC中点N，则MN∥BC，…………………………………………8分由（2）知BC⊥平面PAC，则MN⊥平面PAC所以∠MCN为直线MC与平面PAC所成角，设为，……………9分NC＝12PC＝32，MC＝12PB＝52………………………11分cos＝155.……………………………………12分18.（本题满分14分）解:（Ⅰ）由题得过两点(4,0)A，(0,2)B直线l的方程为240xy.…………1分因为12ca，所以2ac，3bc.---2分设椭圆方程为2222143xycc,3分由2222240,1,43xyxycc消去x得，224121230yyc.----4分又因为直线l与椭圆C相切,所以221244(123)0c,解得21c.---5分所以椭圆方程为22143xy.………………………………………………6分（Ⅱ）易知直线m的斜率存在,设直线m的方程为(4)ykx，……………………7分由22(4),1,43ykxxy消去y，整理得2222(34)3264120kxkxk.…………8分由题意知2222(32)4(34)(6412)0kkk，解得1122k.………………………………………………………………9分设11(,)Mxy，22(,)Nxy，则21223234kxxk，2122641234kxxk.……10分又直线:240lxy与椭圆22:143xyC相切，8由22240,1,43xyxy解得31,2xy，所以3(1,)2P.……………………………11分则2454AP.所以3645813547AMAN.又22221122(4)(4)AMANxyxy2222221122(4)(4)(4)(4)xkxxkx212(1)(4)(4)kxx21212(1)(4()16)kxxxx22222641232(1)(416)3434kkkkk2236(1).34kk所以223681(1)347kk，解得24k.经检验成立.所以直线m的方程为2(4)4yx.……………………………………14分19.解：（1）10nnana,2n，11a123(1)(1)(2)nnnnanannannna1(1)(2)32nnnan！………………………………………2分又!111a，nan！………………………………………………………3分（2）由1122nnnbb两边同时除以2n得111222nnnnbb即111222nnnnbb4分∴数列{}2nnb是以12为首项，公差为12的等差数列………………………5分11(1)()12222nnbnn，故2(1)2nnnb…………………………6分（3）因为12111,22(1)(2)12nnnnnabnannnn……………8分记nA=3123452nnaaaaaaaa91111111111()()()()2334451222nAnnn……10分记{2}nnb的前n项和为nB则01211222322nnBn①∴12121222(1)22nnnBnn②由②-①得：012122222nnnB