2013届高二数学教案2.3不等式的证明方法之三反证法(人教A版选修4-5)

课题：第03课时不等式的证明方法之三：反证法教学目标：通过实例，体会反证法的含义、过程与方法，了解反证法的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。教学重点：体会反证法证明命题的思路方法，会用反证法证明简单的命题。教学难点：会用反证法证明简单的命题。教学过程:一、引入：前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假，或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是先肯定命题的条件p，并否定命题的结论q，然后通过合理的逻辑推理，而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。二、典型例题：例1、已知0ba，求证：nnba（Nn且1n）例1、设233ba，求证.2ba证明：假设2ba，则有ba2，从而.2)1(68126,61282233323bbbbabbba因为22)1(62b，所以233ba，这与题设条件233ba矛盾，所以，教学札记原不等式2ba成立。例2、设二次函数qpxxxf2)(，求证：)3(,)2(,)1(fff中至少有一个不小于21.证明：假设)3(,)2(,)1(fff都小于21，则.2)3()2(2)1(fff（1）另一方面，由绝对值不等式的性质，有2)39()24(2)1()3()2(2)1()3()2(2)1(qpqpqpffffff（2）（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？例3、设0a,b,c1，求证：(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可能同时大于41证：设(1a)b41,(1b)c41,(1c)a41,则三式相乘：ab(1a)b•(1b)c•(1c)a641①又∵0a,b,c1∴412)1()1(02aaaa同理：41)1(bb,41)1(cc以上三式相乘：(1a)a•(1b)b•(1c)c≤641与①矛盾∴原式成立例4、已知a+b+c0，ab+bc+ca0，abc0，求证：a,b,c0证：设a0,∵abc0,∴bc0又由a+b+c0,则b+c=a0∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc0与题设矛盾又：若a=0，则与abc0矛盾，∴必有a0同理可证：b0,c0三、课堂练习：1、利用反证法证明：若已知a，b，m都是正数，并且ba，则.bambma2、设0a,b,c2，求证：(2a)c,(2b)a,(2c)b,不可能同时大于13、若x,y0，且x+y2，则xy1和yx1中至少有一个小于2。提示：反设xy1≥2，yx1≥2∵x,y0，可得x+y≤2与x+y2矛盾。四、课时小结：利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；第二步作出与所证不等式相反的假定；第三步从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；第四步断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。五、课后作业：课本29页第1、4题。六、教学后记：