2013届高二数学教案31二维形式的柯西不等式(一)(人教A版选修4-5)

第三讲柯西不等式与排序不等式课题：第01课时二维形式的柯西不等式（一）教学目标：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义，并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.教学难点：理解几何意义.教学过程：一、复习准备：1.提问：二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2ababab及几种变式.2.练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc二、讲授新课：1.柯西不等式：①提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.→即二维形式的柯西不等式→什么时候取等号？②讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd222()()()acbdadbcacbd.（要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.∵mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn.∴…..证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.∴22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..③讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？变式：2222||abcdacbd或2222||||abcdacbd或2222abcdacbd.④提出定理2：设,是两个向量，则||||||.即柯西不等式的向量形式（由向量法提出）→讨论：上面时候等号成立？（是零向量，或者,共线）教学札记⑤练习：已知a、b、c、d为实数，求证222222()()abcdacbd.证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形）2.教学三角不等式：①出示定理3：设1122,,,xyxyR，则22222211221212()()xyxyxxyy.分析其几何意义→如何利用柯西不等式证明→变式：若112233,,,,,xyxyxyR，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？三、应用举例：例1：已知a,b为实数，求证2332244)())((bababa说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。例题2：求函数xxy21015的最大值。分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能用柯西不等式求其最大值。（2222||dcbabdac）解：函数的定义域为【1，5】，且y036427)5()1()2(552152222xxxxy当且仅当xx5512时，等号成立，即27127x时，函数取最大值36课堂练习：1.证明:(x2+y4)(a4+b2)≥(a2x+by2)22.求函数xxy6453的最大值.例3.设a,b是正实数，a+b=1，求证411ba分析：注意到)11)((11bababa，有了)11)((baba就可以用柯西不等式了。四、巩固练习：1.练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2.已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.五、课堂小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点）六、布置作业：P37页，4，5，7，8，9七、教学后记：