2013届高考数学一轮复习章末测试单元评估检测三

第1页共16页单元评估检测（三）（第三章）（120分钟150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012·广州模拟)sin330°等于()(A)－32(B)－12(C)12(D)322.(2012·衡水模拟)若角α的终边过点(sin30°，－cos30°)，则sinα等于()(A)12(B)－12(C)－32(D)－333.已知函数y＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则()(A)ω＝1，φ＝2π3(B)ω＝1，φ＝－2π3(C)ω＝2，φ＝2π3(D)ω＝2，φ＝－2π34.(2012·吉林模拟)曲线y＝2sin(x＋π4)cos(x－π4)与直线y＝12在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3、…，则|P2P4|等于()(A)π(B)2π(C)3π(D)4π第2页共16页5.(2012·潮州模拟)已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于()(A)17(B)7(C)－17(D)－76.(2012·长沙模拟)若a、b、c是△ABC的三边，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2＝1相离，则△ABC一定是()(A)直角三角形(B)等边三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形7.已知f(x)＝sinx＋3cosx(x∈R)，函数y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，则φ的值可以是()(A)π2(B)π3(C)π4(D)π68.已知tanα和tan(π4－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c的关系是()(A)b＝a＋c(B)2b＝a＋c(C)c＝b＋a(D)c＝ab二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2012·惠州模拟)已知△ABC中，a＝1，b＝2，B＝45°，则角A等于.10.若α，β∈(0，π2)，cos(α－β2)＝32，sin(α2－β)＝－12，则cos(α＋β)的值等于.第3页共16页11.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象如图所示，则f(0)＝.12.在△ABC中，D为边BC上一点，BD＝12CD，∠ADB＝120°，AD＝2.若△ADC的面积为3－3，则∠BAC＝.13.如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B两点，从A、B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A、B两点间的距离为60m，则树的高度为.14.(易错题)定义一种运算：(a1，a2)(a3，a4)＝a1a4－a2a3，将函数f(x)＝(3，2sinx)(cosx，cos2x)的图象向左平移n(n0)个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则n的最小值为.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)第4页共16页15.(12分)已知sinα＝255，求tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)cos(5π2－α)的值.16.(13分)已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B－8cosB＋5＝0，求角B的大小，并判断△ABC的形状.17.(13分)(2012·揭阳模拟)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，△ABC的面积S满足S＝32bccosA.(1)求角A的值；(2)若a＝3，设角B的大小为x，用x表示c，并求c的取值范围.18.(14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2)的部分图象如图所示：(1)求函数f(x)的解析式并写出其所有对称中心；(2)若g(x)的图象与f(x)的图象关于点P(4,0)对称，求g(x)的单调递增区间.19.(14分)以40千米/时的速度向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3分钟后气球上升到1千米处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度.第5页共16页20.(14分)(预测题)已知A、B、C是△ABC的三个内角，向量m＝(1，－3)，n＝(cosA，sinA)，且m·n＝－1.(1)求角A；(2)若1＋sin2Bsin2B－cos2B＝3，求tanC的值.答案解析1.【解析】选B.sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.2.【解析】选C.∵角α的终边过点(sin30°，－cos30°)，∴x＝sin30°，y＝－cos30°，r＝1，则sinα＝yr＝－cos30°＝－32，故选C.【变式备选】已知角2α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边过点(－12，32),2α∈[0,2π)，则tanα＝()(A)－3(B)3(C)33(D)±33【解析】选B.由角2α的终边在第二象限，知tanα0，依题设知tan2α＝－3，所以2α＝2π3，得α＝π3，tanα＝3.第6页共16页3.【解析】选D.∵T4＝7π12－π3＝π4，∴T＝π，∴ω＝2，又7π12×2＋φ＝π2，∴φ＝－2π3.4.【解析】选A.2sin(x＋π4)cos(x－π4)＝2sin2(x＋π4)＝1－cos[2(x＋π4)]＝1＋sin2x，其最小正周期为π，又|P2P4|显然是一个周期，故选A.5.【解析】选A.∵sinα＝35，α∈(π2，π)，∴cosα＝－45，∴tanα＝－34，tan(α＋π4)＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝tanα＋11－tanα＝－34＋11－(－34)＝17.6.【解析】选D.由题设知|c|a2＋b21，即a2＋b2c2，即a2＋b2－c20，于是cosC＝a2＋b2－c22ab0，所以C为钝角，故△ABC为钝角三角形.7.【解析】选D.因为f(x)＝sinx＋3cosx＝2(12sinx＋32cosx)＝2sin(x＋π3)，所以f(x＋φ)＝2sin(x＋π3＋φ)，因为y＝f(x＋φ)的图象关于直线x＝0对称，第7页共16页因此sin(0＋π3＋φ)＝±1，可得π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，即φ＝kπ＋π6，k∈Z，因此φ的值可以是π6.8.【解题指南】利用根与系数的关系得到tanα和tan(π4－α)与系数a，b，c的关系，再利用正切的两角和公式得到a，b，c的关系.【解析】选C.tanα＋tan(π4－α)＝－batanαtan(π4－α)＝ca，∴tanπ4＝tan[(π4－α)＋α]＝－ba1－ca＝1，∴－ba＝1－ca，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.9.【解析】根据正弦定理，asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝1×222＝12.∵a＜b，即A＜B，∴A＝30°.答案：30°10.【解题指南】利用所给角的范围和余弦、正弦值求得α－β2和α2－β的度数，再根据条件作出判断，进而求得cos(α＋β).【解析】∵α，β∈(0，π2)，第8页共16页∴－π4α－β2π2，－π2α2－βπ4，由cos(α－β2)＝32和sin(α2－β)＝－12，可得α－β2＝±π6，α2－β＝－π6，当α－β2＝－π6，α2－β＝－π6时，α＋β＝0与α，β∈(0，π2)矛盾；当α－β2＝π6，α2－β＝－π6时，α＝β＝π3，此时cos(α＋β)＝－12.答案：－1211.【解析】由图象知最小正周期T＝23(13π4－π4)＝2π＝2πω，故ω＝1，又x＝3π4时，f(x)＝2，即2sin(3π4＋φ)＝2，可得φ＝－π4＋2kπ，k∈Z又∵|φ|＜π2，∴φ＝－π4.所以f(x)＝2sin(x－π4)，f(0)＝2sin(－π4)＝－2.答案：－212.【解析】由∠ADB＝120°知∠ADC＝60°，第9页共16页又因为AD＝2，所以S△ADC＝12AD·DC·sin60°＝3－3，所以DC＝2(3－1)，又因为BD＝12DC，所以BD＝3－1，过A点作AE⊥BC于E点，则S△ADC＝12DC·AE＝3－3，所以AE＝3，又在直角三角形AED中，DE＝1，所以BE＝3，在直角三角形ABE中，BE＝AE，所以△ABE是等腰直角三角形，所以∠ABC＝45°，在直角三角形AEC中，EC＝23－3，所以tan∠ACE＝AEEC＝323－3＝2＋3，所以∠ACE＝75°，所以∠BAC＝180°－75°－45°＝60°.答案：60°【方法技巧】巧解三角形解三角形问题一般是通过三角函数恒等变形来完成，这种方法是最基本的，也是很重要的方法.有些三角形问题，除了常规方法外，还可根据题目所提供的信息.通过观察、联想，往往可以构造设计一个恰当的三角形，借助于平面几何、解三角形等知识去解决.13.【解析】在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60m，sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°第10页共16页＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得：PBsin30°＝ABsin15°，∴PB＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PBsin45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)m.答案：(30＋303)m14.【解题指南】根据新定义写出三角函数关系式并化简三角函数式，再根据性质求得最小值.【解析】由新定义可知f(x)＝3cos2x－sin2x＝2cos(2x＋π6)，所以函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后为y＝－2cos2x的图象，该函数为偶函数，所以n的最小值为5π12.答案：5π1215.【解析】∵sinα＝2550，∴α为第一或第二象限角.当α是第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝55，第11页共16页tan(α＋π)＋sin(5π2＋α)cos(5π2－α)＝tanα＋cosαsinα＝sinαcosα＋cosαsinα＝1sinαcosα＝52.当α是第二象限角时，cosα＝－1－sin2α＝－55，原式＝1sinαcosα＝－52.【变式备选】已知α为锐角，且tan(π4＋α)＝2.(1)求tanα的值；(2)求sin2αcosα－sinαcos2α的值.【解析】(1)tan(π4＋α)＝1＋tanα1－tanα，所以1＋tanα1－tanα＝2，1＋tanα＝2－2tanα，所以tanα＝13.(2)sin2αcosα－sinαcos2α＝2sinαcos2α－sinαcos2α＝sinα(2cos2α－1)cos2α＝sinαcos2αcos2α＝sinα.因为tanα＝13，所以cosα＝3sinα，又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝110，第12页共16页又α为锐角，所以sinα＝1010，所以sin2αcosα－sinαcos2α＝1010.16.【解析】∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0，即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝12或cosB＝32(舍去).∵0Bπ，∴B＝π3.∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－(a＋c2)22ac＝12，化简得a2＋c2－2ac＝0，解得a＝c.∴△ABC是等边三角形.【一题多解】本题还可用下面的方法求解：∵2cos2B－8cosB＋5＝0，∴2(2cos2B－1)－8cosB＋5＝0.∴4cos2B－8cosB＋3＝0.即(2cosB－1)(2cosB－3)＝0.解得cosB＝12或cosB＝32(舍去).第13页共16页∵0Bπ，∴B＝π3.∵a、b、c成等差数列，∴a＋c＝2b.由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB＝2sinπ3＝3.∴sinA＋sin(2π3－A)＝3，∴sinA＋sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3.化简得32sinA＋32cosA＝3，∴sin(A＋π6)＝1.∵0Aπ，∴A＋π6＝π2.∴A＝π3，C＝π3.∴△ABC是等边三角形.17