2013届高考数学一轮复习章末测试单元评估检测八

第1页共16页单元评估检测（八）（第八章）（120分钟150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()(A)(0，π2)(B)(0，π)(C)[－π4，π4](D)[0，π4]∪[3π4，π)2.(2012·珠海模拟)已知直线l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，则l1∥l2的充要条件是a等于()(A)3(B)1(C)－1(D)3或－13.(2012·顺德模拟)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为()(A)1(B)1或3(C)0(D)1或04.“λ－1”是“方程x22＋λ－y21＋λ＝1表示双曲线”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.(2012·佛山模拟)已知直线l1与圆O：x2＋y2＋2y＝0相切，且与直线l2：3x＋4y－6＝0平行，则直线l1的方程是()(A)3x＋4y－1＝0(B)3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－9＝0第2页共16页(C)3x＋4y＋9＝0(D)3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝06.若曲线x225＋y29＝1与曲线y2a＋x29＝1的离心率互为倒数，则a＝()(A)16(B)－16(C)8116(D)－81167.已知双曲线16y2－m2x2＝1(m0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为15，则m＝()(A)1(B)2(C)3(D)48.若PQ是圆x2＋y2＝16的弦，PQ的中点是M(1,3)，则直线PQ的方程是()(A)x＋3y－4＝0(B)x＋3y－10＝0(C)3x－y＋4＝0(D)3x－y＝0二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为.10.(2012·郑州模拟)已知抛物线y2＝2px(p1)的焦点F恰为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右焦点，且两曲线的交点连线过点F，则双曲线的离心率为.11.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于.12.若k∈R，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2－2ax＋a2－2a－4＝0恒有交第3页共16页点，则实数a的取值范围是.13.(2012·深圳模拟)直线ax＋my－2a＝0(m≠0)过点(1,1)，则该直线的倾斜角为.14.抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的距离的最小值等于.三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(易错题)设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2－a＝0(a∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若a－1，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，O为坐标原点，求△OMN面积取最小值时，直线l对应的方程.16.(13分)已知动点C到点A(－1,0)的距离是它到点B(1,0)的距离的2倍.(1)试求点C的轨迹方程；(2)已知直线l经过点P(0,1)且与点C的轨迹相切，试求直线l的方程.17.(13分)(探究题)已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(－3，0)，右顶点为D(2,0)，设点A(1，12).(1)求该椭圆的标准方程；(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程；(3)过原点O的直线交椭圆于点B，C，求△ABC面积的最大值.第4页共16页18.(14分)(2012·广州模拟)如图，曲线C1是以原点O为中心、F1，F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的交点，且∠AF2F1为钝角，若|AF1|＝72，|AF2|＝52，(1)求曲线C1和C2的方程；(2)过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1、C2依次交于B、C、D、E四点，若G为CD中点、H为BE中点，问|BE|·|GF2||CD|·|HF2|是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.19.(14分)(预测题)已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－42y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，2)在该椭圆上.(1)求椭圆E的方程；(2)若斜率为2的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程.20.(14分)已知直线l1：y＝2x＋m(m0)与抛物线C1：y＝ax2(a0)和圆C2：x2＋(y＋1)2＝5都相切，F是C1的焦点.(1)求m与a的值；(2)设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线l，直线l交y轴于点B，以FA、FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；第5页共16页(3)在(2)的条件下，记点M所在定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P、Q两点，求△NPQ的面积S的取值范围.答案解析1.【解析】选D.直线xsinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα.又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1.∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是[0，π4]；当－1≤k0时，倾斜角的范围是[3π4，π).2.【解析】选C.由题意知a(a－2)＝32a2≠18a＝－1.3.【解析】选D.由y＝kx＋2y2＝8xky2－8y＋16＝0，若k＝0则y＝2；若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0，解得k＝1.故k的值为0或1.4.【解析】选A.因为当λ－1时，方程x22＋λ－y21＋λ＝1表示双曲线；当x22＋λ－y21＋λ＝1表示双曲线时，λ－1或λ－2.所以“λ－1”是“方程x22＋λ－y21＋λ＝1表示双曲线”的充分不必要条件.5.【解析】选D.由题意可得圆心O(0，－1)，半径r＝1，设l1：3x＋4y＋λ＝0，则圆心O到l1的距离d＝|－4＋λ|32＋42＝1.∴|λ－4|＝5.解得λ＝－1或λ＝9.∴l1：3x＋4y－1＝0或3x＋4y＋9＝0.第6页共16页6.【解析】选D.因为曲线x225＋y29＝1的离心率为45，所以，曲线y2a＋x29＝1的离心率为54，所以54＝9－a3，解得a＝－8116.7.【解析】选C.双曲线的方程可化为y2116－x21m2＝1，所以a＝14，b＝1m，取顶点(0，14)，一条渐近线为mx－4y＝0.∵15＝|－4×14|m2＋16，即m2＋16＝25，∴m＝3.8.【解析】选B.圆心为O(0,0)，故直线OM斜率k＝3－01－0＝3，因为弦PQ所在直线与直线OM垂直，所以kPQ＝－13，其方程为y－3＝－13(x－1)，整理，得x＋3y－10＝0.9.【解题指南】由于圆与两平行线都相切，故两平行线间距离即为直径，只要再求得圆心坐标即可得解.【解析】因为两条直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，所以2R＝42，所以R＝2.设圆心坐标为P(a，－a)，则点P到两条切线的距离都等于半径，所以2|a|2＝2，|2a－4|2＝2，解得a＝1，故圆心为(1，－1)，所以圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝2第7页共16页10.【解析】由题意知，p2＝c，即p＝2c.由y2＝2pxx2a2－y2b2＝1得b2x2－4ca2x－a2b2＝0*由题意知x＝c是方程*的一个根，则有b2c2－4a2c2－a2b2＝0，即c4－6a2c2＋a4＝0，∴e4－6e2＋1＝0.又e1，∴e2＝3＋22，e＝2＋1.答案：2＋111.【解析】设2a、2b分别为椭圆的长轴长、短轴长，依题设有4b＝2a，即a＝2b，所以c＝a2－b2＝3b，所以离心率为e＝ca＝32.答案：3212.【解析】因为直线y＝kx＋1恒过定点(0,1)，题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上，则02＋12－2a·0＋a2－2a－4≤0且2a＋40，解得－1≤a≤3.答案：－1≤a≤313.【解析】由题意可得a＋m－2a＝0，即m＝a.又直线的斜率k＝－am＝－1，∴该直线的倾斜角为3π4.答案：3π414.【解析】由抛物线的方程，可设抛物线上的点的坐标为(x，－x2)，根据点到直线的距离公式，得第8页共16页d＝|4x＋3(－x2)－8|42＋32＝35(x－23)2＋43，所以当x＝23时，d取得最小值43.答案：4315.【解析】(1)当直线l经过坐标原点时，该直线在两坐标轴上的截距都为0，此时a＋2＝0，解得a＝－2，此时直线l的方程为－x＋y＝0，即x－y＝0；当直线l不经过坐标原点，即a≠－2且a≠－1时，由直线在两坐标轴上的截距相等可得2＋aa＋1＝2＋a，解得a＝0，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.所以直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.(2)由直线方程可得M(2＋aa＋1，0)，N(0,2＋a)，又因为a－1.故S△OMN＝12×2＋aa＋1×(2＋a)＝12×[(a＋1)＋1]2a＋1＝12×[(a＋1)＋1a＋1＋2]≥12×[2(a＋1)·1a＋1＋2]＝2，当且仅当a＋1＝1a＋1，即a＝0时等号成立.此时直线l的方程为x＋y－2＝0.16.【解题指南】(1)利用直接法列出方程，化简即可.(2)对斜率是否存在分类讨论，根据切线的性质求斜率，进而求出方程.【解析】(1)设点C(x，y)，则|CA|＝(x＋1)2＋y2，|CB|＝(x－1)2＋y2.由题意，得(x＋1)2＋y2＝2×(x－1)2＋y2.第9页共16页两边平方，得(x＋1)2＋y2＝2×[(x－1)2＋y2].整理，得(x－3)2＋y2＝8.故点C的轨迹是一个圆，其方程为(x－3)2＋y2＝8.(2)由(1)，得圆心为M(3,0)，半径r＝22.①若直线l的斜率不存在，则方程为x＝0，圆心到直线的距离d＝3≠22，故该直线与圆不相切；②若直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx＋1.由直线和圆相切，得d＝|3k＋1|1＋k2＝22，整理，得k2＋6k－7＝0，解得k＝1，或k＝－7.故所求直线的方程为y＝x＋1，或y＝－7x＋1，即x－y＋1＝0或7x＋y－1＝0.17.【解题指南】(1)由“左焦点为F(－3，0)，右顶点为D(2,0)”得到椭圆的长半轴a，半焦距c，再求得短半轴b，最后由椭圆的焦点在x轴上求得标准方程.(2)设线段PA的中点为M(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由中点坐标公式分别求得x0，y0，代入椭圆方程，可求得线段PA中点M的轨迹方程.(3)分直线BC垂直于x轴和直线BC不垂直于x轴两种情况分析，求得弦长|BC|，结合点到直线的距离建立三角形面积模型，再用基本不等式求其最值.【解析】(1)由已知得椭圆的长半轴a＝2，半焦距c＝3，则短半轴b＝1.又椭圆的焦点在x轴上，第10页共16页∴椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.(2)设线段PA的中点为M(x，y)，点P的坐标是(x0，y0)，由x＝x0＋12y＝y0＋122得x0＝2x－1y0＝2y－12，因为点P在椭圆上，得(2x－1)24＋(2y－12)2＝1，∴线段PA中点M的轨迹方程是(x－12)2＋4(y－14)2＝1.(3)当直线BC垂直于x轴时，|BC|＝2，此时△ABC的面积S△ABC＝1.当直线BC不垂直于x轴时，设直线方程为y＝kx，代入x24＋y2＝1，由B、C的对称性，不妨令B(24k2＋1，2k4k2＋1)，C(－24k2＋1，－2k4k2＋1)，则|BC|＝41＋k21＋4k2，又点A到直线BC的距离d＝|k－12|1＋k2，∴S△ABC＝12|BC|d＝|2k－1|1＋4k2，于是S△ABC＝4k2－4k＋11＋4k2＝1－4k4k2＋1，由4k4k2＋1≥－1，得S△ABC≤2，其中，当k＝－12时，等号成立.∴S△第11页共16页ABC的最大值是2.18.【解析】(1)设椭圆方程为x2a2＋y