2013届高考数学总复习教学案简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

1第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[知识能否忆起]一、简单的逻辑联结词1．用联结词“且”联结命题p和命题q，记作p∧q，读作“p且q”．2．用联结词“或”联结命题p和命题q，记作p∨q，读作“p或q”．3．对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作綈p，读作“非p”或“p的否定”．4．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断：p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．二、全称量词与存在量词1．全称量词与全称命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．(3)全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”．2．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题．(3)特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，P(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”．三、含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)[小题能否全取]1．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则()A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题答案：D22．(教材习题改编)下列命题中的假命题是()A．∃x0∈R，x0＋1x0＝2B．∃x0∈R，sinx0＝－1C．∀x∈R，x20D．∀x∈R,2x0答案：C3．(2012·湖南高考)命题“∃x0∈∁RQ，x30∈Q”的否定是()A．∃x0∉∁RQ，x30∈QB．∃x0∈∁RQ，x30∉QC．∀x∉∁RQ，x3∈QD．∀x∈∁RQ，x3∉Q解析：选D其否定为∀x∈∁RQ，x3∉Q.4．(教材习题改编)命题p：有的三角形是等边三角形．命题綈p：__________________.答案：所有的三角形都不是等边三角形5．命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋90”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：∃x0∈R,2x20－3ax0＋90为假命题，则∀x∈R，2x2－3ax＋9≥0恒成立，有Δ＝9a2－72≤0，解得－22≤a≤22.答案：[－22，22]1.逻辑联结词与集合的关系“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．2．正确区别命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．含有逻辑联结词命题的真假判定典题导入[例1](2012·齐齐哈尔质检)已知命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}，给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．其中正确的是()3A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④[自主解答]命题p：∃x0∈R，使tanx0＝1是真命题，命题q：x2－3x＋20的解集是{x|1x2}也是真命题，故①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是真命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．[答案]D由题悟法1．“p∧q”“p∨q”“綈p”形式命题的真假判断步骤(1)准确判断简单命题p、q的真假；(2)判断“p∧q”“p∨q”“綈p”命题的真假．2．含有逻辑联结词的命题的真假判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即一真全真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即一假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．以题试法1．(1)如果命题“非p或非q”是假命题，给出下列四个结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且q”是假命题；③命题“p或q”是真命题；④命题“p或q”是假命题．其中正确的结论是()A．①③B．②④C．②③D．①④(2)(2012·江西盟校联考)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．(4，＋∞)B．[1,4]C．[e,4]D．(－∞，1]解析：(1)选A“非p或非q”是假命题⇒“非p”与“非q”均为假命题⇒p与q均为真命题．(2)选C“p∧q”是真命题，则p与q都是真命题．p真则∀x∈[0,1]，a≥ex，需a≥e；q真则x2＋4x＋a＝0有解，需Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.p∧q为真，则e≤a≤4.全称命题与特称命题的真假判断典题导入[例2]下列命题中的假命题是()4A．∀a，b∈R，an＝an＋b，有{an}是等差数列B．∃x0∈(－∞，0)，2x03x0C．∀x∈R,3x≠0D．∃x0∈R，lgx0＝0[自主解答]对于A，an＋1－an＝a(n＋1)＋b－(an＋b)＝a常数．A正确；对于B，∀x∈(－∞，0)，2x3x，B不正确；对于C，易知3x≠0，因此C正确；对于D，注意到lg1＝0，因此D正确．[答案]B由题悟法1．全称命题真假的判断方法(1)要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；(2)要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．2．特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．以题试法2．(2012·湖南十二校联考)下列命题中的真命题是()A．∃x0∈R，使得sinx0cosx0＝35B．∃x0∈(－∞，0)，2x01C．∀x∈R，x2≥x－1D．∀x∈(0，π)，sinxcosx解析：选C由sinxcosx＝35，得sin2x＝651，故A错误；结合指数函数和三角函数的图象，可知B，D错误；因为x2－x＋1＝x－122＋340恒成立，所以C正确．全称命题与特称命题的否定典题导入[例3](2013·武汉适应性训练)命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是()A．所有能被2整除的整数都是奇数5B．所有不能被2整除的整数都不是奇数C．存在一个能被2整除的整数是奇数D．存在一个不能被2整除的整数不是奇数[自主解答]命题“所有不能被2整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个不能被2整除的整数不是奇数”，选D.[答案]D若命题改为“存在一个能被2整除的整数是奇数”，其否定为________．答案：所有能被2整除的整数都不是奇数由题悟法1．弄清命题是全称命题还是特称命题是写出命题否定的前提．2．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．3．要判断“綈p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与綈p的真假相反．4．常见词语的否定形式有：原语句是都是至少有一个至多有一个对任意x∈A使p(x)真否定形式不是不都是≤一个也没有至少有两个存在x0∈A使p(x0)假以题试法3．(2012·辽宁高考)已知命题p：∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≥0，则綈p是()A．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0D．∀x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0解析：选C命题p的否定为“∃x1，x2∈R，(f(x2)－f(x1))(x2－x1)0”．1．将a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2改写成全称命题是()6A．∃a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2B．∃a0，b0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2C．∀a0，b0，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2D．∀a，b∈R，a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2解析：选D全称命题含有量词“∀”，故排除A、B，又等式a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2对于全体实数都成立，故选D.2．(2012·山东高考)设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为π2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x＝π2对称．则下列判断正确的是()A．p为真B．q为真C．p∧q为假D．p∨q为真解析：选C命题p，q均为假命题，故p∧q为假命题．3．(2013·广州模拟)已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是()A．(綈p)∨qB．p∧qC．(綈p)∧(綈q)D．(綈p)∨(綈q)解析：选D不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，所以綈p为假命题，綈q为真命题，所以(綈p)∨(綈q)为真命题．4．下列命题中，真命题是()A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)`都是偶函数D．∀m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数解析：选A由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．5．(2012·福建高考)下列命题中，真命题是()A．∃x0∈R，ex0≤0B．∀x∈R,2x＞x2C．a＋b＝0的充要条件是ab＝－1D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件解析：选D因为∀x∈R，ex＞0，故排除A；取x＝2，则22＝22，故排除B；a＋b＝0，取a＝b＝0，则不能推出ab＝－1，故排除C.6．(2012·石家庄质检)已知命题p1：∃x0∈R，x20＋x0＋10；p2：∀x∈[1,2]，x2－1≥0.7以下命题为真命题的是()A．(綈p1)∧(綈p2)B．p1∨(綈p2)C．(綈p1)∧p2D．p1∧p2解析：选C∵方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－30，∴x2＋x＋10无解，故命题p1为假命题，綈p1为真命题；由x2－1≥0，得x≥1或x≤－1，∴∀x∈[1,2]，x2－1≥0，故命题p2为真命题，綈p2为假命题．∵綈p1为真命题，p2为真命题，∴(綈p1)∧p2为真命题．7．(2012·“江南十校”联考)下列说法中错误的是()A．对于命题p：∃x0∈R，使得x0＋1x02，则綈p：∀x∈R，均有x＋1x≤2B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题解析：选D显然选项A正确；对于B，由x＝1可得x2－3x＋2＝0；反过来，由x2－3x＋2＝0不能得知x＝1，此时x的值可能是2，因此“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件，选项B正确；对于C，原命题的逆否命题是：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项C正确；对于D，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故选项D错误．8．(2013·石家庄模拟)已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，则实数a的取值范围是()A．a＝1或a≤－2B．a≤－2或1≤a≤2C．a≥1D．－2≤a≤1解析：选A若命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0真，则a≤1.若命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0真，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a≥1或a≤－2，又p且q为真命题所以a＝1或a≤－2.9．命题“存在x0∈R，使