2013届高考文科数学一轮复习课时作业(50)椭圆

1课时作业(五十)第50讲椭圆[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲：“|PA|＋|PB|是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”．那么甲是乙成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．[2011·课标全国卷]椭圆x216＋y28＝1的离心率为()A.13B.12C.33D.223．若椭圆x216＋y2m2＝1过点(－2，3)，则其焦距为()A．23B．25C．43D．454．已知点M(3，0)，椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B，则△ABM的周长为________．能力提升5．[2011·执信中学月考]若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是()A.45B.35C.25D.156．椭圆kx2＋(k＋2)y2＝k的焦点在y轴上，则k的取值范围是()A．k－2B．k－2C．k0D．k07．[2011·铁岭三校二联]椭圆x2＋my2＝1的离心率为32，则m的值为()A．2或12B．2C．4或14D.148．若长轴在y轴上的椭圆的一个焦点到长轴两个端点的距离之比为14，短轴长为8，则椭圆的标准方程是()A.x216＋y225＝1B.x28＋y220＝1C.x216＋y250＝1D.x28＋y225＝19．矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的短轴的长为()A．23B．26C．42D．4310．椭圆的中心在原点，一个焦点是F(0,2)，离心率是63，则椭圆的标准方程是________．11．已知△ABC的顶点A(－3,0)和C(3,0)，顶点B在椭圆x236＋y227＝1上，则sinA＋sinCsinB＝________.212．若椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)与曲线x2＋y2＝a2－b2恒有公共点，则椭圆的离心率e的取值范围是________．13．[2012·浙江效实中学期中]设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，且∠ABF＝π4，则椭圆的离心率为________．14．(10分)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为453和253，过P点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．15．(13分)[2011·陕西卷]设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为35.(1)求C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．难点突破16．(12分)[2011·株洲调研]已知中心在原点的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1的一个焦点为F1(0,3)，M(x,4)(x0)为椭圆C上一点，△MOF1的面积为32.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在平行于OM的直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．3课时作业(五十)【基础热身】1．B[解析]当“点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆”时，则有“|PA|＋|PB|是定值”；反之，当“|PA|＋|PB|是定值”时，点P的轨迹可能是线段或无轨迹．故选B.2．D[解析]由题意a＝4，c2＝8，∴c＝22，所以离心率为e＝ca＝224＝22.3．C[解析]把点(－2，3)的坐标代入椭圆方程得m2＝4，所以c2＝16－4＝12，所以c＝23，故焦距为2c＝43.故选C.4．8[解析]y＝k(x＋3)，过定点N(－3，0)，而M、N恰为椭圆x24＋y2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8.【能力提升】5．B[解析]依题意有2b＝a＋c，所以4(a2－c2)＝(a＋c)2，整理得3a2－2ac－5c2＝0，解得a＋c＝0(舍去)或3a＝5c，所以e＝35.故选B.6．B[解析]将椭圆方程化为x2＋k＋2y2k＝1，若椭圆的焦点在y轴上，则必有0k＋2k1，解得k－2.故选B.7．C[解析](1)当焦点在x轴上时，a2＝1，b2＝1m0，所以c2＝1－1m0，所以m1，且e＝ca＝1－1m＝32，解得m＝4.(2)当焦点在y轴上时，a2＝1m0，b2＝1，所以c2＝1m－10，所以0m1，且e＝ca＝1－m＝32，解得m＝14.故选C.8．A[解析]依题意知a－ca＋c＝14，即3a＝5c，又b＝4，∴a2＝16＋c2＝16＋925a2，解得a2＝25.故选A.9．D[解析]依题意得|AC|＝5，所以椭圆的焦距为2c＝|AB|＝4，长轴长2a＝|AC|＋|BC|＝8，所以短轴长为2b＝2a2－c2＝216－4＝43.故选D.10.x22＋y26＝1[解析]由已知，得c＝2，ca＝63，所以a＝6，b2＝a2－c2＝2.又焦点在y轴上，所以椭圆方程为x22＋y26＝1.11．2[解析]易知A，C为椭圆的焦点，故|BA|＋|BC|＝2×6＝12，又|AC|＝6，由正弦定理知，sinA＋sinCsinB＝|BA|＋|BC||AC|＝2.12.22≤e1[解析]由题意知，以半焦距c为半径的圆与椭圆有公共点，故b≤c，所以b2≤c2，即a2≤2c2，所以22≤ca.又ca1，所以22≤e1.13.22[解析]设A(x0，y0)，则B(－x0，－y0)，而F(c,0)，依题意有|AF|＝|BF|，且AF⊥BF，所以x0－c2＋y20＝－x0－c2＋y20，y0－0x0－c·－y0－0－x0－c＝－1，解得x0＝0，y0＝±c，所以由题意知A、B分别是椭圆的上下顶点，所以c＝b，所以c2＝b2＝a2－c2，解得e＝22.414．[解答]设两焦点为F1、F2，且|PF1|＝453，|PF2|＝253.由椭圆定义知2a＝|PF1|＋|PF2|＝25，即a＝5.由|PF1||PF2|知，|PF2|垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt△PF2F1中，sin∠PF1F2＝|PF2||PF1|＝12，可求出∠PF1F2＝π6，2c＝|PF1|·cosπ6＝253，从而b2＝a2－c2＝103.所以所求椭圆方程为x25＋3y210＝1或3x210＋y25＝1.15．[解答](1)将(0,4)代入椭圆C的方程得16b2＝1，∴b＝4.又e＝ca＝35得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5，∴C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋x－3225＝1，即x2－3x－8＝0.解得x1＝3－412，x2＝3＋412，∴AB的中点坐标x＝x1＋x22＝32，y＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65.即中点为32，－65.【难点突破】16．[解答](1)因为椭圆C的一个焦点为F1(0,3)，所以b2＝a2＋9，则椭圆C的方程为x2a2＋y2a2＋9＝1.因为x0，所以S△MOF1＝12×3×x＝32，解得x＝1.故点M的坐标为(1,4)．因为M(1,4)在椭圆上，所以1a2＋16a2＋9＝1，得a4－8a2－9＝0，解得a2＝9或a2＝－1(不合题意，舍去)，则b2＝9＋9＝18，所以椭圆C的方程为x29＋y218＝1.(2)假设存在符合题意的直线l与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，其方程为y＝4x＋m(因为直线OM的斜率k＝4)．由y＝4x＋m，x29＋y218＝1消去y，化简得18x2＋8mx＋m2－18＝0.进而得到x1＋x2＝－8m18，x1·x2＝m2－1818.5因为直线l与椭圆C相交于A，B两点，所以Δ＝(8m)2－4×18×(m2－18)0，化简得m2162，解得－92m92.因为以线段AB为直径的圆恰好经过原点，所以OA→·OB→＝0，所以x1x2＋y1y2＝0.又y1y2＝(4x1＋m)(4x2＋m)＝16x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2，所以x1x2＋y1y2＝17x1x2＋4m(x1＋x2)＋m2＝17m2－1818－32m218＋m2＝0.解得m＝±102.由于±102∈(－92，92)，所以符合题意的直线l存在，且所求的直线l的方程为y＝4x＋102或y＝4x－102.