2013届高考文科数学一轮复习课时作业(53)直线与圆锥曲线的位置关系B

1课时作业(五十三)B第53讲直线与圆锥曲线的位置关系[时间：45分钟分值：100分]基础热身1．双曲线x29－y216＝1上的点到双曲线的右焦点的距离的最小值是()A．2B．3C．4D．52．斜率为1的直线被椭圆x24＋y2＝1截得的弦长的最大值为()A.255B.4105C.455D.21053．过抛物线y2＝4x的焦点作倾斜角为135°的弦AB，则AB的长度是()A．4B．42C．8D．824．设抛物线C的顶点为原点，焦点F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点，若AB的中点(2,2)，则直线l的方程为________．能力提升5．动圆M的圆心M在抛物线y2＝4x上移动，且动圆恒与直线l：x＝－1相切，则动圆M恒过点()A．(－1,0)B．(－2,0)C．(1,0)D．(2,0)6．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆x29＋y24＝1的交点个数为()A．至多1个B．2个C．1个D．0个7．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为150°的直线交双曲线左支于M点，若MF1垂直于x轴，则双曲线的离心率为()A.6B.5C.3D.28．椭圆ax2＋by2＝1与直线y＝1－x交于A、B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为32，则ab的值为()A.32B.233C.932D.23279．过原点的直线l被双曲线y2－x2＝1截得的弦长为22，则直线l的倾斜角为()A．30°或150°B．45°或135°C．60°或120°D．75°或105°10．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两个顶点分别为A1、A2，一个虚轴端点为B，若它的焦距为4，则△A1A2B面积的最大值为________．11．如图K53－1，在平面直角坐标系xOy中，点A为椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左顶点，B，C在椭圆E上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于________．图K53－112．抛物线y2＝4x过焦点的弦的中点的轨迹方程是________．13．[2011·连云港调研]双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线将平面划分为“上、2下、左、右”四个区域(不含边界)，若点(1,2)在“上”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是________．14．(10分)设抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.15．(13分)[2011·湖南四市九校联考]在直角坐标系xOy中，点M到点F1(－3，0)、F2(3，0)的距离之和是4，点M的轨迹是C，直线l：y＝kx＋2与轨迹C交于不同的两点P和Q.(1)求轨迹C的方程；(2)是否存在常数k，使以线段PQ为直径的圆过原点O？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．图K53－2难点突破16．(12分)[2011·天津卷]设椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(a，b)满足|PF2|＝|F1F2|.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，若直线PF2与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝16相交于M，N两点，且|MN|＝58|AB|，求椭圆的方程．3课时作业(五十三)B【基础热身】1．A[解析]双曲线的右顶点到右焦点的距离最小，最小值为2.故选A.2．B[解析]当直线经过椭圆中心时，被椭圆截得的弦最长，将此时直线方程y＝x代入椭圆方程，得弦的一个端点的坐标为M25，25，于是弦长为2|OM|＝4105.故选B.3．C[解析]抛物线的焦点为(1,0)，设弦AB所在的直线方程为y＝－x＋1代入抛物线方程，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，x1x2＝1，由弦长公式，得|AB|＝2×62－4×1＝8.故选C.4．y＝x[解析]由题意知，抛物线C的方程y2＝4x.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y21＝4x1，y22＝4x2，y21－y22＝4(x1－x2)，所以y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝1，l：y－2＝x－2，即y＝x.【能力提升】5．C[解析]因为直线l是抛物线的准线，根据抛物线的定义，圆心M到F的距离等于M到抛物线准线l的距离．所以动圆M恒过抛物线的焦点F(1,0)．故选C.6．B[解析]依题意，圆心到直线的距离大于半径，即|－4|m2＋n22，所以m2＋n24，该不等式表明点(m，n)在以原点为圆心，2为半径的圆内，而这个圆又在椭圆x29＋y24＝1内，所以过点(m，n)的直线与椭圆有2个交点．故选B.7．C[解析]由题意知△F1MF2是直角三角形，且|F1F2|＝2c，∠MF2F1＝30°，所以|MF1|＝2c3，于是点M坐标为－c，2c3.所以c2a2－4c23b2＝1，即c2a2－4c23c2－a2＝1，将e＝ca代入，化简整理，得3e4－10e2＋3＝0，解得e2＝13(舍去)，或e2＝3，所以e＝3.故选C.8．A[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将y＝1－x代入椭圆方程，得(a＋b)x2－2bx＋b－1＝0，则x1＋x22＝ba＋b，即线段AB中点的横坐标为ba＋b，代入直线方程y＝1－x得纵坐标为aa＋b，所以过原点与线段AB中点的直线的斜率为ab＝32.故选A.9．C[解析]设直线l方程为y＝kx，代入双曲线方程得(k2－1)x2＝1，∴x＝±1k2－1，y＝±kk2－1，∴两交点的坐标为A1k2－1，kk2－1，B－1k2－1，－kk2－1，由两点间距离公式得，|AB|2＝2k2－12＋2kk2－12＝(22)2，解得k＝±3，∴倾斜角为60°或120°.10．2[解析]依题意，S△A1A2B＝ab≤a2＋b22＝c22＝2，所以△A1A2B面积的最大值为2.411.223[解析]设椭圆的半焦距为c.因为四边形OABC为平行四边形，∵BC∥OA，|BC|＝|OA|，所以点C的横坐标为a2，代入椭圆方程得纵坐标为3b2.因为∠OAB＝30°，所以3b2＝33×a2，即a＝3b，a2＝9a2－9c2，所以8a2＝9c2，所以离心率e＝223.12．y2＝2(x－1)[解析]抛物线焦点为F(1,0)，设弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，中点P(x，y)，则y21＝4x1，y22＝4x2，作差得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)①.将y1＋y2＝2y，y1－y2x1－x2＝yx－1代入①式，得2y·yx－1＝4，即y2＝2(x－1)．13．(1，5)[解析]双曲线的渐近线为bx±ay＝0，依题意有b＋2a0，b－2a0，即b2a，所以c2－a24a2，那么e＝ca5.又e1，所以e∈(1，5)．14．[解答]证明：设过焦点Fp2，0的直线AB的方程为x＝my＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由x＝my＋p2，y2＝2px，消去x，得y2－2pmy－p2＝0，∴y1y2＝－p2.∵BC∥x轴，且点C在准线x＝－p2上，∴点C的坐标为－p2，y2.kCO＝y2－p2＝2py1＝y1x1＝kOA，故AC过原点O.15．[解答](1)∵点M到(－3，0)，(3，0)的距离之和是4，∴M的轨迹C是长轴长为4，焦点在x轴上，焦距为23的椭圆，其方程为x24＋y2＝1.(2)将y＝kx＋2代入曲线C的方程，消去y，整理得(1＋4k2)x2＋82kx＋4＝0.①设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由方程①，得x1＋x2＝－82k1＋4k2，x1x2＝41＋4k2.②又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋2.③若以PQ为直径的圆过原点，则OP→·OQ→＝0，所以x1x2＋y1y2＝0，将②、③代入上式，解得k＝±62.又因k的取值应满足Δ0，即4k2－10(*)，将k＝±62代入(*)式知符合题意．∴k＝±62.【难点突破】16．[解答](1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0)，因为|PF2|＝|F1F2|，所以a－c2＋b2＝2c，整5理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍)，或ca＝12，所以e＝12.(2)由(1)知a＝2c，b＝3c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝3(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组3x2＋4y2＝12c2，y＝3x－c，消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝85c.得方程组的解x1＝0，y1＝－3c，x2＝85c，y2＝335c.不妨设A85c，335c，B(0，－3c)，所以|AB|＝85c2＋335c＋3c2＝165c.于是|MN|＝58|AB|＝2c.圆心(－1，3)到直线PF2的距离d＝|－3－3－3c|2＝3|2＋c|2.因为d2＋|MN|22＝42，所以34(2＋c)2＋c2＝16，整理得7c2＋12c－52＝0.得c＝－267(舍)，或c＝2.所以椭圆方程为x216＋y212＝1.