2013届高考文科数学一轮复习课时作业(6)函数的奇偶性与周期性B

1课时作业(六)B第6讲函数的奇偶性与周期性[时间：35分钟分值：80分]基础热身1．[2011·湖北卷]若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.12(ex＋e－x)C.12(e－x－ex)D.12(ex－e－x)2．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象()A．关于点(1,0)对称B．关于点(0,1)对称C．关于点(－1,0)对称D．关于点(0，－1)对称3．[2011·陕西卷]设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()图K6－14．[2010·江苏卷]设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．能力提升5．[2011·永州一中模拟]下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是()A．f(x)＝ln2－x2＋xB．f(x)＝－|x＋1|C．f(x)＝12(ax＋a－x)D．f(x)＝sinx6．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝()A．{x|x＜－2或x＞4}B．{x|x＜0或x＞4}C．{x|x＜0或x＞6}D．{x|x＜－2或x＞2}7．[2011·怀化模拟]已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2011)＋f(2013)的值为()A．－1B．1C．0D．无法计算8．关于函数f(x)＝lgx2＋1|x|(x∈R，x≠0)，有下列命题：①函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；②在区间(－∞，0)上，f(x)是减函数；③函数y＝f(x)的最小值是lg2；④在区间(－∞，0)上，f(x)是增函数．其中正确的是()A．①②B．②④C．①③D．③9．[2011·长沙周南中学模拟]设f(x)是定义在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝13对称，则f－23＝()A．0B．1C．－1D．210．设a为常数，f(x)＝x2－4x＋3，若函数f(x＋a)为偶函数，则a＝________；f[f(a)]2＝________.11．[2011·合肥模拟]设f(x)是偶函数，且当x0时是单调函数，则满足f(2x)＝fx＋1x＋4的所有x之和为________．12．(13分)设函数f(x)＝ax2＋1bx＋c是奇函数(a，b，c都是整数)，且f(1)＝2，f(2)3，f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(1)求a，b，c的值；(2)当x0时，f(x)的单调性如何？证明你的结论．难点突破13．(12分)已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①∀x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x1时，f(x)0，且f(2)＝1.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集．3课时作业(六)B【基础热身】1．D[解析]因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x.又因为f(x)＋g(x)＝ex，所以g(x)＝ex－e－x2.2．B[解析]令g(x)＝f(x)－1＝x3＋sinx，则g(x)为奇函数，所以g(x)的图象关于原点(0,0)对称，当x＝0时，有f(0)－1＝0，此时f(0)＝1，所以对称中心为(0,1)．3．B[解析]由f(－x)＝f(x)可知函数为偶函数，其图象关于y轴对称，可以结合选项排除A、C，再利用f(x＋2)＝f(x)，可知函数为周期函数，且T＝2，必满足f(4)＝f(2)，排除D，故只能选B.4．－1[解析]设g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数．又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.【能力提升】5．A[解析]y＝sinx与y＝ln2－x2＋x为奇函数，而y＝12(ax＋a－x)为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选A.6．B[解析]∵f(x)＝2x－4(x≥0)，∴令f(x)＞0，得x＞2.又f(x)为偶函数且f(x－2)＞0，∴f(|x－2|)＞0，∴|x－2|＞2，解得x＞4或x＜0，∴{x|x＜0或x＞4}．7．C[解析]由题意得g(－x)＝f(－x－1)，又因为f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x＋4)，∴f(x)的周期为4，∴f(2011)＝f(3)＝f(－1)，f(2013)＝f(1)．又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0，∴f(2011)＋f(2013)＝0.8．C[解析]由函数f(x)的定义域为()－∞，0∪()0，＋∞，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数．当x0时，f(x)＝lgx2＋1x＝lgx＋1x≥lg2，函数f(x)在()－∞，－1，()0，1上为减函数，在()－1，0，()1，＋∞上为增函数．故①③正确．9．A[解析]因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.又因为y＝f(x)的图象关于直线x＝13对称，所以f23＝0.于是f－23＝－f23＝0，故选A.10．28[解析]由题意得f(x＋a)＝(x＋a)2－4(x＋a)＋3＝x2＋(2a－4)x＋a2－4a＋3，因为f(x＋a)为偶函数，所以2a－4＝0，a＝2.f[f(a)]＝f[f(2)]＝f(－1)＝8.11．－8[解析]∵f(x)是偶函数，f(2x)＝fx＋1x＋4，∴f(|2x|)＝fx＋1x＋4，又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数，∴|2x|＝x＋1x＋4，即2x＝x＋1x＋4或2x＝－x＋1x＋4，整理得2x2＋7x－1＝0或2x2＋9x＋1＝0，设方程2x2＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x2＋9x＋1＝0的两根为x3，x4.则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－72＋－92＝－8.12．[解答](1)由f(1)＝2，得a＋1b＋c＝2，由f(2)3，得4a＋12b＋c3.∵函数f(x)是奇函数，∴函数f(x)的定义域关于原点对称．又函数f(x)的定义域为xx∈R且x≠－cb，则－cb＝0，∴c＝0，于是得f(x)＝axb＋1bx，且a＋1b＝2，4a＋12b3，∴8b－32b3，即0b32.4又b∈Z，∴b＝1，则a＝1.a＝1，b＝1，c＝0符合f(x)在(1，＋∞)上单调递增．(2)由(1)知f(x)＝x＋1x.已知函数f(x)是奇函数，且在(1，＋∞)上单调递增，根据奇函数的对称性，可知f(x)在(－∞，－1)上单调递增；以下讨论f(x)在区间[－1,0)上的单调性．当－1≤x1x20时，f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)·1－1x1x2，显然x1－x20,0x1x21,1－1x1x20，∴f(x1)－f(x2)0，∴函数f(x)在[－1,0)上为减函数．综上所述，函数f(x)在(－∞，－1)上是增函数，在[－1,0)上是减函数．【难点突破】13．[解答](1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，所以f(－x)＝f(x)．又函数f(x)的定义域关于原点对称，所以函数f(x)为偶函数．(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则有x2x11.又∵当x1时，f(x)0，∴fx2x10.又f(x2)＝fx1·x2x1＝f(x1)＋fx2x1f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.(4)∵f(3x－2)＋f(x)＝f[x(3x－2)]，4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式等价于f[x(3x－2)]≥f(16)．又函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x(3x－2)|≥16，即x(3x－2)≥16或x(3x－2)≤－16，解得x≤－2或x≥83，∴不等式f(3x－2)＋f(x)≥4的解集为xx≤－2或x≥83.