2013届高考等比数列练习题

等比数列练习题一、选择题1．(2010·重庆卷)在等比数列{an}中，a2010＝8a2007，则公比q的值为()A．2B．3C．4D．8答案：A解析：∵a2010＝8a2007，∴a2007·q3＝8a2007.∴q3＝8.∴q＝2.2．(2010·全国Ⅰ卷)已知各项均为正数的等比数列{an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6等于()A．52B．7C．6D．42答案：A解析：数列{an}为等比数列，由a1a2a3＝5得a23＝5，由a7a8a9＝10得a83＝10，所以a23a83＝50，即(a2a8)3＝50，即a56＝50，所以a53＝52(an0)．所以a4a5a6＝a53＝52.3.数列{an}的前n项和Sn＝3n－c，则c＝1是数列{an}为等比数列的()A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件答案：C解析：数列{an}的前n项和为Sn＝3n－c，则an＝3－cn＝12·3n－1n≥2.由等比数列的定义可知：c＝1⇔数列{an}为等比数列．4.等比数列{an}的各项为正，公比q满足q2＝4，则a3＋a4a4＋a5的值为()A.14B.2C.±12D.12答案：D解析：本题考查等比数列的概念和性质，属于基础题．∵等比数列{an}的各项为正，∴q0.又q2＝4，∴q＝2，∴a3＋a4a4＋a5＝a1q2＋a1q3a1q3＋a1q4＝1q＝12，故选D.5.(2010·哈尔滨模拟)已知等比数列{an}满足an0，n∈N*，且a3·a2n－3＝4n(n1)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝()A.n2B.(n＋1)2C.n(2n－1)D.(n－1)2答案：A解析：由a3·a2n－3＝4n得a1·a2n－1＝an2＝4n，又an0，∴an＝2n，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝log221＋3＋…＋2n－1＝log22n1＋2n－12＝log22n2＝n2.6.设数列{an}是首项为1公比为3的等比数列，把{an}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{bn}，{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，下列结论正确的是()A.bn＋1＝3bn且Sn＝12(3n－1)B.bn＋1＝3bn－2且Sn＝12(3n－1)C.bn＋1＝3bn＋4且Sn＝12(3n－1)－2nD.bn＋1＝3bn－4且Sn＝12(3n－1)－2n答案：C解析：由已知易得bn＝3n－1－2，故有3bn＋4＝3(3n－1－2)＋4＝3n－2＝bn＋1，又Sn＝(1＋3＋32＋…＋3n－1)－2n＝3n－12－2n，故选C.二、填空题7．(2010·福建卷)在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.答案：4n－1解析：∵S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝21a1＝21，∴a1＝1.∴an＝1·4n－1＝4n－1.8．在正数等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝1，a7＋a8＋a9＝4，则此等比数列的前15项的和为________．答案：31解析：设数列{an}的公比为q(q0)，则有q6＝a7＋a8＋a9a1＋a2＋a3＝4，注意到数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，S15－S12是以q3＝2为公比的等比数列，因此S15＝1×1－251－2＝31，即正数等比数列{an}的前15项和为31.9.(2010·济南模拟)等比数列{an}的公比为q，前n项的积为Tn，并且满足a11，a2009·a2010－10，(a2009－1)(a2010－1)0，给出下列结论：①0q1；②a2009·a20111；③T2010是Tn中的最大值；④使得Tn1成立的最大的自然数是4018.其中正确结论的序号为________．(将你认为正确的全部填上)答案：①②④解析：由题可知a2009a20101，可得a12q40171，则q0，如果q1，则(a2009－1)(a2010－1)0，与已知不符，所以0q1，故①正确；由题可知a20091，a20101，则T4018＝a1a2…a4018＝(a2009a2010)20091，T4019＝a1a2…a4019＝(a2010)40191，故④正确；由上式可知T4019＝(a2010)4019＝(a2009a2011)401921，所以a2009a20111，故②正确；由题知Tn＝a1a2…an，当n＝2010时，a20101，所以T2010T2009，又因为a20091，所以T2009为最大，故③错．综上可知①②④正确．三、解答题10．等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝329，且公比q∈(0,1)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．解：(1)∵a3·a4＝a1·a6＝329，由条件知：a1，a6是方程x2－11x＋329＝0的两根，解得x＝13或x＝323.又0q1，∴a1＝323，a6＝13，∴q5＝a6a1＝132，q＝12，从而an＝a6·qn－6＝13·(12)n－6.(2)∵323[1－12n]1－12＝21，得(12)n＝164，∴n＝6.11.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．解：(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2(Sn－1＋2)∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．12.(2010·四川卷)已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m，n∈N*都有a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2.(1)求a3，a5；(2)设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N*)，证明：{bn}是等差数列；(3)设cn＝(an＋1－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Sn.解：(1)由题意，令m＝2，n＝1可得a3＝2a2－a1＋2＝6，再令m＝3，n＝1可得a5＝2a3－a1＋8＝20.(2)当n∈N*时，由已知(以n＋2代替m)可得a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8.于是[a2(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8，即bn＋1－bn＝8.所以，数列{bn}是公差为8的等差数列．(3)由(1)、(2)的解答可知{bn}是首项b1＝a3－a1＝6，公差为8的等差数列．则bn＝8n－2，即a2n＋1－a2n－1＝8n－2.另由已知(令m＝1)可得，an＝a2n－1＋a12－(n－1)2，那么，an＋1－an＝a2n＋1－a2n－12－2n＋1＝8n－22－2n＋1＝2n.于是，cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)．当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋…＋2n·qn－1.两边同乘q可得qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋…＋2(n－1)·qn－1＋2n·qn.上述两式相减即得(1－q)Sn＝2(1＋q1＋q2＋…＋qn－1)－2nqn＝2·1－qn1－q－2nqn＝2·1－n＋1qn＋nqn＋11－q，所以Sn＝2·nqn＋1－n＋1qn＋1q－12.综上所述，Sn＝nn＋1，q＝1，2·nqn＋1－n＋1qn＋1q－12，q≠1.