2013年10月《线性代数(经管类)04184》试卷及标准答案

全国2013年10月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198选择题部分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。1．设行列式11221abab，11222acac，则111222abcabcBA.－3B.－C.1D.32．设4阶矩阵A的元素均为3，则r(A)=AA.1C.3D.43．设A为2阶可逆矩阵，若11325A，则A*=A.1325B.1325C.5321D.53214．设A为m×n矩阵，A的秩为r，则A.r=m时，Ax=0必有非零解B.r=n时，Ax=0必有非零解C.rm时，Ax=0必有非零解D.rn时，Ax=0必有非零解5．二次型f(xl，x2,x3)=222123132323812xxxxxxx的矩阵为A.10802128123B.1080212003C.104026463D.140426063非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=__16____．7．设A为2阶矩阵，将A的第1行加到第2行得到B，若B=1234，则A=_1222.8．设矩阵A=11122122aaaa，B=111211211222aaaaaa，且r(A)=1，则r（B）=__1____.9．设向量α=(1，0，1)T，β=(3，5，1)T，则β－2α=_(15-1)_______．10．设向量α=(3，－4)T，则α的长度||α||=_5_____．11．若向量αl=(1，k)T，α2=(－1,1)T线性无关，则数k的取值必满足_K不等于-1____.12．齐次线性方程组xl+x2+x3=0的基础解系中所含解向量的个数为__2____．13．已知矩阵A=122212221与对角矩阵D=10001000a相似，则数a=_5___14．设3阶矩阵A的特征值为－1，0，2，则|A|=_0____．15．已知二次型f(x1,x2,x3)=222123xxtx正定，则实数t的取值范围是_T大于0_____．三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16．计算行列式D=222222abcaabbacbcccab.＝（a+b+c）3步骤：1.将第二行和第三行全部加到第一行，使第一行全部变成：a+b+c,2.提取公因子a+b+c,第一行变成1113.第一行的-2b倍加到第二行，变成：0－（a+b+c）04第一行的-2c倍加到第三行，变成：00－（a+b+c）5行列式的值为：对角线元素之积，（a+b+c）317．已知向量α=（1，2，k），β=111,,23，且βαT=3，A=αTβ，求(1)数k的值；(2)A10．解：（１）：βαT=3矩阵的乘法：1+1+k/3＝3Ｋ=3(2):αTβ不能乘吧？这个不会解，请老师帮忙18．已知矩阵A=123231340，B=120010，求矩阵X，使得AX=B.解：Ｘ＝Ａ-1*Ｂ先求出Ａ-1利用初等行变换，将前面部分转为简化梯阶形式，后面部分就成为了Ａ的逆矩阵。-4-127-39-51-21所以Ｘ＝Ａ-1*Ｂ19．求向量组α1=(1,0,2,0)T,α2=(－1,－1,－2,0)T,α3=(－3,4,－4,l)T,α4=（－6,14,－6,3）T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．解：就是初等行变换，化为简化阶梯形式，100-1010-200130000秩为：3α1α2α3为一个极大无关组α1－α4=0α2－２α4=0α3+3α4=0线性表出：α4＝α1-2α2+3α320．设线性方程组230211xyzxyzxyz，问：(1)λ取何值时，方程组无解？(2)λ取何值时，方程组有解？此时求出方程组的解．解：方程组无解，就是系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩λ＝1/2时，方程组无解(2)有解，就是系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，Λ不等于1/2时，方程组有解，是唯一解，其解为：Ｚ=3/（4λ-2），y=-1/2,x=21．求矩阵A=001010100的全部特征值与特征向量．解：λＥ-Ａ=0代入求特征值λ１＝λ２＝1λ＝-1求特征向量，将λ１＝λ２＝1λ＝-1代入计算当λ＝-1时，矩阵为：-10-10-20000特征向量为（-1-1/21）当λ１＝λ２＝1时，矩阵为：10-1000000特征向量为（-101）22．用配方法化二次型f(x1,x2,x3)=221213232248xxxxxx为标准形，并写出所用的可逆线性变换．解：标准形：只有平方项，没有交叉项的为标准形f(x1,x2,x3)=(2Ｘ12–4Ｘ1Ｘ3–Ｘ32)+(Ｘ32+8Ｘ2Ｘ3+4Ｘ22)-6Ｘ22=(2Ｘ12-Ｘ32)2+(Ｘ32+2Ｘ22)2-6Ｘ22可逆线性变换:Ｐ-1ＤＰ?四、证明题（本题7分）23．设向量组α1，α2线性无关，且β=clα1+c2α2，证明：当cl+c2≠1时，向量组β－α1,β－α2线性无关．证明向量组β－α1,β－α2线性无关．用反证法，如果向量组β－α1,β－α2线性相关因为：β=clα1+c2α2β－α1=clα1+c2α2－α1β－α２=clα1+c2α2－α２