2013年1月工科数学分析考试题_A_解答

12013年1月工科数学分析试题(A)解答一.(10分)1.用N语言叙述“极限limnnxa”的定义.2.根据数列极限的N定义证明:2lim1.nnn解1如果对每个0,存在N,当nN时,就有||nxa,那么称a是数列{}nx的极限,记做limnnxa.证2任取0.根据平均值不等式,112221(11)1(2)nnnnnnnnnn.因此,22244161(1)11nnnnnn,216|1|(1)nnnn.为使左端小于,只需右端16n,即2216n.因此,如果选2216[]1N,那么当nN时,2|1|nn.证毕.二.(15分)1.求极限1lim(12)nnnn.2.求极限100(1)elimxxxx.3.求极限40limsindnnxx.解1用na表示所给的数列,那么根据Stolz法则,ln1ln2lnlimlnlimlimln10nnnnnnnann.因此,lim1nna.另一种方法根据平均值不等式,1211nnnan,所以,lim1nna.解2所给极限可化为ln(1)ln(1)ln(1)22000000ln(1)eee(1)ln(1)1limlime()lim1xxxxxxxxxxxxxxxxxxx.后一个因式的极限为20000(1)ln(1)ln(1)1limlim22xxxxxxxx.所以,原极限为e.2解3根据定积分的保序性,4420010sindd0(2)(2)nnnxxx.2三.(20分)设函数).,0[11)(2xxxxf(1)证明)(xf是有界函数.(2)分析函数在哪些区间上单调增,在哪些区间上单调减.(3)求()fx的极值.(4)求函数)(xf的上确界和下确界．证(1)221130()12211xfxxx.因此,结论(1)成立.解(2)在区间(0,)内,求导数,22222212(1)12().(1)(1)xxxxxfxxx令()0fx,得228210,122xxx.得到012x.于是,000,(0,),()0,(,).xxfxxx因此,函数()fx在区间0[0,]x上单调增,在0[,)x上单调减.解(3)根据(2)的结果,函数在点0xx处取得极大值,021(12)2().1(12)422fx解(4)因为lim()0xfx,而()0fx,所以0inf()0.xfx另外,从单调性可以看出,函数()fx在点0x处取得最大值,所以002sup()().422xfxfx四.(20分)1.设)cose1coseln(422xxyxx,求导数y.2.设函数)(xfy由下列参数方程定义,tyttxcos1,sin)20(t.求一阶导数xy和二阶导数2xy.3.求不定积分2arctanedexxIx．4.求定积分201sined1cosxxxx.解1设中间变量2ecosxux,那么2ln(1)yuu,所以221(ecose2cossin).1xxxuxyyuxxxu解2根据参变量求导法,32233sin()sincos(1cos)sincos21cos,1cos(1cos)(1cos)(1cos)xxtttttttyytttt.解3原积分可以化为332222arctanearctan11dedarctand()2e1111arctand22(1)xxxuIuuuuuuuuu最后这个积分可化为22111()darctan1uuCuuu.因此,2e1arctane(earctane)22xxxxIC.解4所给的定积分可化为22222002012sincos122ed(sectan)edetane.22222cos2xxxxxxxxxxx五.(10分)1.设函数()fx在区间[,]ab上有界.对这个函数叙述定积分的定义.2.求极限2223333312lim()122nnnnn.解1分割把区间[,]ab任意分割成有限个子区间的并:10121[,][,]()nkknkabxxxaxxxb.(7.1.1)用kx表示第k个子区间的长度:1(1,,)kkkxxxkn.用n表示各个子区间长度的最大值,假定lim0.nn采样在每个子区间上,任取样点1[,]kkkxx,求出函数)(xf在样点上的值,乘以相应子区间的长度,得到乘积值()(1,,)kkfxkn.求和把这些数值相加,得到和数1()nnkkkSfx.求极限当n时,如果和数nS的极限存在,并且极限值与区间的分割方式无关,与样点的选取也无关,就把这个极限称为)(xf在区间[,]ab上的定积分,记做()dlimbnanfxxS.这时,就说函数)(xf在区间[,]ab上是可积的.解2在所给的和数nA中,对各被加项的分子、分母同除以3n,就得到2221233312()()()1111()1()1()nnnnnnnnnAnnn.现在,在区间[0,1]上考虑函数423(),[0,1]1xfxxx.把区间[0,1]n等分,取各子区间的右端点为样点,那么积分和数就是上述和数,而函数()fx是连续的,所以,根据定积分的定义,113001ln2lim()dln(1).33nnAfxxx六.(10分)证明不等式:如果,,,xypq都是正数,并且111pq,那么pqxyxypq.证考虑对数函数()ln,(0,)fxxx.这个函数的导数为211(),()0fxfxxx,所以,()fx是区间(0,)内的凹函数.因此,11()()()pqppxyffxfypqpq,即lnlnln()pqpqxyxxpqpq.在这个不等式的两边取指数,就得到要证明的不等式.证毕.七.(10分)设函数)(xf在区间[0,1]上有连续的导函数,并且(1)0f,证明:1112222000()d2()d[()]dfxxxfxxfxx.证对左端的积分应用分部积分法,就得到11112220000()d()d()2[()]()d.fxxxfxxfxxfxfxx于是,根据柯西不等式,就得到111222000()d2[()]d[()]dfxxxfxxfxx.八.(5分)1.求积分20130sindxxx.2.证明不等式:23sincos00eded4xxxxx.解1根据三角函数的积分的特点,就得到201320132002012!!sindsind2013!!xxxxx.证2根据三角函数的积分的特点,不等式的左端项可化为22sincossinsin20000ededededxxxxxxxxx.另外,根据柯西不等式,sinsinsinsin22222000eededed2xxxxxxx.把这些关系式联立,就得到要证的不等式.