2015届前黄姜堰如皋沭阳四校联考数学试题

1前黄、姜堰、如皋、沭阳四校联考数学试题（2015.1.5）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合221,280xAxBxxx，则AB▲.2.复数1izi(i为虚数单位),则复数z的模为▲.3.设,aR则“2a”是“直线2yax与直线14ayx垂直”的▲条件.（在“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.执行如图所示的算法流程图，则最后输出的y等于▲．5.已知正四棱锥的底面边长是2,侧棱长为5,则该正四棱锥的表面积是▲.6.从集合1,2,3,4中任取2个不同的数，这2个数的和为3的倍数概率为▲.7.在ΔABC中，点D是线段BC的中点，若0160,2AABAC，则||AD的最小值是▲.8.若(,),2cos2sin()4，则sin2的值为▲.9.在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆C：22(2)5xy上的任意一点，动点Q(2,2)aa()aR，则线段PQ长度的最小值为▲.10.已知数列,nnab满足112,1ab，+131144nnnaab,+113144nnnbab*()nN,则5566()()abab的值为▲.11.已知函数2log,02,0xxaxfxax，若函数yfxx有且只有一个零点，则实数a的取值范围是▲.12.若0,0ab，且11121abb+++，则5ab+的最小值为▲．13.设函数()fx在区间D上有定义，若对其中任意1212,()xxxx恒有1212()()()22xxfxfxf，则称()fx是D上的“凹函数”.若()|4|(0)fxxaxa在[2,3]上为“凹函数”，则a的取值范围是▲.14.已知椭圆22:12xCy，点125,,,MMM为其长轴AB的6等分点，分别过这五点作斜率为k(0)k的一组平行线，交椭圆C于1210,,,PPP，则10条直线1210,,,APAPAP的斜率乘积为▲.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）在ABC中，角ABC、、所对的边分别为abc、、，已知ab3.（1）当6C，且ABC的面积为43时，求a的值；（2）当33cosC时，求)cos(AB的值．16.（本小题满分14分）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥CD，,PAADMQ、分别是PDBC、的中点．（1）求证：//MQ平面PAB；（2）若ANPC，垂足为N，求证：PD平面AMN．结束开始2x1y21yy输出yNY（第4题）5x1xxY(第16题)QMABCDPN217.（本小题满分15分）已知曲线1C：22144xy，曲线2C：2221(01)44xy.曲线2C的左顶点恰为曲线1C的左焦点.(1)求的值；(2)若曲线2C上一点P的坐标为2(1,)2，过点P作直线交曲线1C于,AC两点.直线OP交曲线1C于,BD两点.若P为AC中点，①求直线AC的方程；②求四边形ABCD的面积.18.（本小题满分15分）一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与,AC的直线距离都是km2，BC与河岸垂直，垂足为.D现要修建电缆，从供电站C向村庄BA,供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元km/、4万元/km.(1)如图①,已知村庄A与B原来铺设有电缆AB，现先从C处修建最短水下电缆到达对岸后，再修建地下电缆接入原电缆供电，试求该方案总施工费用的最小值；来源:学科网ZXXK](2)如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为EBEACE,,.若DCE，)30(，试用表示出总施工费用y（万元）的解析式，并求y的最小值.图②EABCD图①ABCDDxyBOCPA（第17题）319.（本小题满分16分）已知无穷数列{}na中，12,,,maaa是首项为10，公差为2的等差数列；122,,mmmaaa是首项为12，公比为12的等比数列（其中*3,mmN），并对任意的*nN，均有2nmnaa成立．（1）当12m时，求2014a；（2）若361256a，试求m的值；（3）判断是否存在m（*3,mmN），使得12832014mS成立？若存在，试求出m的值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分16分）已知函数()(1)ln1fxaxaxx.（1）若1,a求()fx的单调区间；（2）求证：当1x时，111ln12xx；（3）若1(1)naen对任意的*nN都成立（其中e是自然对数的底），求常数a的最小值.数学II试题（附加题）数学II试题共有四题，每题10分，共计40分21．（本小题满分10分）已知直线的参数方程212xtyt(t为参数),圆C的极坐标方程:2cos0.(1)将直线的参数方程化为普通方程,圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求圆C上一点P到直线的最短距离.22.（本小题满分10分）如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为,abab，原点O为AD的中点，抛物线22yx经过FC,两点,求,ab的值.CGFDABExyO（第22题）423.（本小题满分10分）如图，直三棱柱111ABCABC中，底面是等腰直角三角形，2ABBC，13BB，D为11AC的中点，F在线段1AA上．（1）若CF平面1BDF，求AF;（2）设1AF，求平面1BCF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．24.（本小题满分10分）已知常数0a，函数2()ln(1)2xfxaxx.(1)讨论()fx在区间(0,)上的单调性；(2)若()fx存在两个极值点12,,xx且12()()0fxfx，求a的取值范围．前、姜、如、沭四校联考数学试题（2015.1.5）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.[2,0]2.223.充分不必要4.315.126.137.328.129.5510.113211.-1)（，12.7213.(,0)[2,)14.132二、解答题：本大题共6小题，共90分．15.解：（1）因为ab3，ABC的面积为43，所以213sin24SabCa43，…………………………………………………………5分解得1a.…………………………………………………………7分（2）ab3，33cosC，由余弦定理得，ac2，所以222cab，90B，……………………………10分由正弦定理得，33sinA，………………………………………………………12分所以)90cos()cos(AAB33sinA.………………………………………14分16.证明：（1）(方法一)取PA的中点E，连结ME，BE，因为M是PD的中点，所以MEAD，12MEAD，又因为Q是BC中点，所以12BQBC，因为四边形ABCD是平行四边形；所以BCAD∥，所以BQME∥,所以四边形MQBE是平行四边形，…………………4分所以MQBE．因为BE平面PAB，MQ平面PAB，所以MQ平面PAB．…………………………………………………………6分(方法二)取AD的中点F,连结,MFQF.（第23题）DC1B1ACBA1FPABDCMNQE（第16题）5证得平面//MQF平面PAB,从而证得MQ平面PAB.（2）因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD，又因为ACCD,PAACA,PA平面PAC，AC平面PAC，所以CD平面PAC，又AN平面PAC，所以ANCD．………………………………………………………………9分又ANPC，PCCDC，PC平面PCD，CD平面PCD，所以AN平面PCD，又PD平面PCD，所以ANPD，……………………………………12分又PAAD，M是PD中点，所以AMPD，又AMANA，AM平面AMN，AN平面AMN，所以PD平面AMN.……………14分17．解：（1）由444可得12.……………………………………………………3分（2）①(方法一)由（1）可得曲线221:142xyC.由条件可知AC的斜率必存在，可设AC直线方程为：2(1)2ykx,1122(,),(,)AxyCxy.联立方程222(1)2142ykxxy，可得222(21)(224)22230kxkkxkk（*）…………………………………6分122(422)21kkxxk2(1,)2P是AC的中点，122xx.2(422)=221kkk,解得22k.AC直线方程为：220xy.…………………………………………………………8分①(方法二)设1122(,),(,)AxyCxy,由AC的中点为2(1,)2P,可得12122,2xxyy.由22112222142142xyxy，两式相减可得1212121212yyyyxxxx，………………………………6分2122ACk,22ACkAC直线方程为：220xy.…………………………………8分②OP的斜率为22，直线OB的方程为：22yx.联立方程2222142yxxy，可得21xy或21xy.(2,1),(2,1)BD.……………………………………………11分BD、分别到直线AC的距离为12222222,33dd由（*）可得220xx，0x或2x(20),(02)AC，，,||6AC………………………………………13分四边形ABCD的面积121142||()=6=4223SACdd……………15分18.解：（1）由已知可得ABC△为等边三角形.因为CDAD，所以水下电缆的最短线路为CD.过D作DMAB于M，可知地下电缆的最短线路为DM.又31,2CDDM，[来源:学*科*网Z*X*X*K]…………………3分故该方案的总费用为3142243（万元）……………………………………6分MABCD6（2）因为0,3DCE所以1,tan,3tancosCEEBEDAE.则113sin423tan2223coscoscosy，………………………9分令3sin,cosg则222cos3sinsin3sin1coscosg，因为03，所以30sin2，[来源:Zxxk.Com]记001sin,(0,),33当10sin3，即00时，0g，当13sin32，即03时，0g，所以0min133()22223gg，从而4223y，……………………13分此时02tan4ED，因此施工总费用的最小值为（4223）万元，其中24ED.……………………15分19.解（1）12m时，数列的周期为24．∵2014=2483+22，而22a是等比数列中的项，∴10201422121011().21024aaa…………………………………………4分（2）设mka是第一个周期中等比数列中的第k项，则1()2kmka．∵811()2562，∴等比数列中至少有8项，即8m，则一个周期中