2013年专题六解析几何

12013年专题六：解析几何解析几何解答策略命题趋势根据近年来各地高考的情况，解析几何高考考查特点(1)题型稳定:近几年来高考解析几何试题一直稳定在三(或二)个选择题,一个填空题,一个解答题上,分值约为30分左右,占总分值的20%左右。(2)整体平衡,重点突出:对直线、圆、圆锥曲线知识的考查几乎没有遗漏,通过对知识的重新组合,考查时既注意全面,更注意突出重点,对支撑数学科知识体系的主干知识,考查时保证较高的比例并保持必要深度。近四年新教材高考对解析几何内容的考查主要集中在如下几个类型:①求曲线方程(类型确定、类型未定);②直线与圆锥曲线的交点问题(含切线问题);③与曲线有关的最(极)值问题;④与曲线有关的几何证明(对称性或求对称曲线、平行、垂直);⑤探求曲线方程中几何量及参数间的数量特征;(3)能力立意,渗透数学思想:一些虽是常见的基本题型,但如果借助于数形结合的思想,就能快速准确的得到答案。(4)题型新颖,位置不定:近几年解析几何试题的难度有所下降,选择题、填空题均属易中等题,且解答题未必处于压轴题的位置,计算量减少,思考量增大。加大与相关知识的联系(如向量、函数、方程、不等式等),凸现教材中研究性学习的能力要求。加大探索性题型的分量。由于圆锥曲线是传统的高中数学主干知识，在高考命题上已经比较成熟，考查的形式和试题的难度、类型已经较为稳定，预计2013年仍然是这种考查方式，不会发生大的变化．备考建议解析几何的知识主线很清晰，就是直线方程、圆的方程、圆锥曲线方程及其简单几何性质，复习解析几何时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上，要在解题方法、解题思想上深入下去．解析几何中基本的解题方法是使用代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质，代数方程是解题的桥梁，要掌握一些解方程(组)的方法，掌握一元二次方程的知识在解析几何中的应用，掌握使用韦达定理进行整体代入的解题方法；数学思想方法在解析几何问题中起着重要作用，数形结合思想占首位，其次分类讨论思想、函数与方程思想、化归与转化思想，如解析几何中的最值问题往往就是建立求解目标的函数，通过函数的最值研究几何中的最值．复习解析几何时要充分重视数学思想方法的运用．解答策略圆锥曲线的常见综合问题的处理思路和方法可归纳概括如下：1、直线与圆锥曲线的位置关系：①要解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，通常把直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或关于y）的一元二次方程，再考查其△，从而确定直线与圆锥曲线的的交点个数：（1）若△0，则直线与圆锥曲线没有公共点；②若△=0，则直线与圆锥曲线有唯一的公共点；③若△0，则直线与圆锥曲线有两个不同的公共点；②从几何角度来看：直线与圆锥曲线的位置关系对应着相交（有两个交点）、相切（有一个公共点）、相离（没有公共点）三种情况；这里特别要注意的是：当直线与双曲线的渐近线平行时、当直线与抛物线的对称轴平行时，属于相交的情况，但只有一个公共点。2直线与圆锥曲线相交的中点弦的的问题,常用的求解方法有两种：①、设直线方程为y=kx+m，代入到圆锥曲线方程之中，消元后得到一元二次方程，再利用根与系数的关系去处理（由于直线方程与圆锥曲线方程均未定，因而通常计算量较大）；②、利用点差法：例如在椭圆22221xyab内有一定点P（x0,y0),求以P为中点的弦的直线方程时，可设弦的两端点为A（x1,y1)、B(x2,y2)，则A、B满足椭圆方程，即有22112222222211xyabxyab两式相减再整理可得：(x1+x2)(x1-x2)a2=-(y1+y2)(y1-y2)b2；从而可化出k=y1-y2x1-x2=(x1+x2)(y1+y2)·-b2a2=x0y0·-b2a2；对于双曲线也可求得：k=y1-y2x1-x2=(x1+x2)(y1+y2)·b2a2=x0y0·b2a2;抛物线也可用此法去求解，值得注意的是，求出直线方程之后，要根据图形加以检验。解决直线与圆锥曲线问题的一般方法是：①、解决焦点弦（过圆锥曲线的焦点的弦）的长的有关问题，注意应用圆锥曲线的定义和焦半径公式；②、已知直线与圆锥曲线的某些关系求圆锥曲线的方程时，通常利用待定系数法；③、圆锥曲线上的点关于某一直线的对称问题，解决此类问题的方法是利用圆锥曲线上的两点所在的直线与对称直线垂直，则圆锥曲线上两点的中点一定在对称直线上，再利用根的判别式或中点与曲线的位置关系求解。典型例题考点一：求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等.利用待定系3数法求出相应的a，b，p等.例1．设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.考点2：圆锥曲线的几何性质由方程来讨论其性质.例2：设F1、F2为椭圆14922yx的两个焦点，P为上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，求||||21PFPF的值.考点3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.1、椭圆的第一定义：我们把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距.椭圆的第二定义：我们把平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=ac(0e1)的动点M的轨迹叫做椭圆.这个定点是椭圆的焦点，这条定直线叫做椭圆的准线，这个常数e是椭圆的离心率.2、.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距.即||MF1|-|MF2||=2a(|F1F2|).M为动点，F1、F2为定点，a为常数.第二定义：平面内到定点F的距离和到定直线的距离的比等于常数(大于1)的点的轨迹叫做双曲线，即dMF||=e(e1).F为直线l外一定点，动点到定直线的距离为d，e为大于1的常数.3、1.抛物线的定义平面内到一定点和到一定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线.例3：已知某椭圆的焦点F1（－4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且＝10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C(x2,y2)满足条件｜F2A｜，｜F2B｜，｜F2C｜成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.4例4：已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的离心率为63，短轴一个端点到右焦点的距离为3.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB面积的最大值．考点5：轨迹问题求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法(1)直接法直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程(2)定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.例5.设，点A的坐标为（1,1），点B在抛物线yx上运动，点Q满足BQQAuuuruur，经过Q点与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足QMMPuuuruuur,求点P的轨迹方程。考点6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.例6：已知直线1xy与椭圆)0,0(12222babyax相交于A、B两点.（1）若椭圆的离心率为33，焦距为2，求线段AB的长；（2）若向量OA与向量OB互相垂直（其中O为坐标原点），当椭圆的离心率12[,]22e时，求椭圆的长轴长的最大值.考点7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例7：已知直线l：y=x+m，m∈R。（I）若以点M（2,0）为圆心的圆与直线l相切与点P，且点P在y轴上，求该圆的方程；（II）若直线l关于x轴对称的直线为l，问直线l与抛物线C：x2=4y是否相切？说明理由。突破训练1、如图，设P是圆珠笔2225xy上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且45MDPD（Ⅰ）当P的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过5点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的长度。2、设椭圆C:222210xyabab过点（0，4），离心率为35（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标3、在平面直角坐标系中，曲线与162xxy坐标轴的交点都在圆C上，（1）求圆C的方程；（2）如果圆C与直线0ayx交于A,B两点，且OBOA，求a的值。4、设椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12,FF,点(,)Pab满足212||||PFFF.（Ⅰ）求椭圆的离心率e;(Ⅱ)设直线2PF与椭圆相交于A,B两点.若直线2PF与圆22(1)(3)16xy相交于M,N两点,且|MN|=58|AB|,求椭圆的方程.5、如图，已知抛物线1C：22xbyb经过椭圆2C：222210xyabab＞＞的两个焦点．（1）求椭圆2C的离心率；（2）设点3,Qb，又M，N为1C与2C不在y轴上的两个交点，若QMN的重心在抛物线1C上，求1C和2C的方程．6、如题（21）图，椭圆的中心为原点0，离心率e=22，一条准线的方程是22x（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）设动点P满足：2OPOMON，其中M、N是椭圆上的点，直线OM与ON的斜率之积为12，问：是否存在定点F，使得PF与点P到直线l：210x的距离之比为定值；若存在，求F的坐标，若不存在，说明理由。67、已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于1．（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线12,ll，设1l与轨迹C相交于点,AB，2l与轨迹C相交于点,DE，求ADEB的最小值．8、已知椭圆2222:1(0)xyGabab的离心率为63，右焦点为(22,0)斜率为1的直线l与椭圆G交于,AB两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为(3,2)P。（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）求PAB的面积。9、已知O为坐标原点，F为椭圆22:12yCx在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为-2的直线l与C交与A、B两点，点P满足0.OAOBOP(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.10、在平面直角坐标系xOy中，点(,)Pab(0)ab为动点，12,FF分别为椭圆22221xyab的左右焦点．已知△12FPF为等腰三角形．（Ⅰ）求椭圆的离心率e；（Ⅱ）设直线2PF与椭圆相交于,AB两点，M是直线2PF上的点，满足2AMBM，求点M的轨迹方程．11、已知抛物线1C:2xy，圆2C:22(4)1xy的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线1c的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线1c上一点（异于原点），过点P作圆2c的两条切线，交抛物线1c于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程712、已知动直线l与椭圆C:22132xy交于11,yxP，22,yxQ两不同点，且OPQ的面积OPQS=62,其中O为坐标原点.（Ⅰ）证明2212xx和2212yy均为定值;（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求||||OMPQ的最大值；（Ⅲ）椭圆