2015届高三理科数学综合练习四2015118

1高三理科数学综合练习四2015.1.18一、选择题：1．已知i是虚数单位，集合A={20121,1iii}，若集合B={m}使得AB的子集个数为4，则m=A．iB．1或iC．-1或iD．-i或i2．已知等差数列{na}的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为l5，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为A．10B．20C．30D．403．已知实数a，b满足22430aba，函数1f(x)asinxbcosx的最大值记为(a,b)，则(a,b)的最小值为A．1B．2C．31D．34．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若EFmABnAD(m,nR)，则mn的值为A．-1B．-2C．-3D．25.已知点P是直角坐标平面xOy上的一个动点，2|OP|(点O为坐标原点)，点M(-1，0)，则cosOPM的取值范围是A．13[,]22B．1[,1]2C．3[,1]2D．2[,1]26.已知函数()1fxkx，其中实数k随机选自区间[2,1]．对[0,1]x，()0fx的概率是（）（A）13（B）12（C）23（D）347.某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为0，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S，则S的最小值是（）（A）42（B）41（C）40（D）398.如图所示2×2方格，在每一个方格中填人一个数字，数字可以是l、2、3、4中的任何一个，允许重复．若填入A方格的数字大于B方格的数字，则不同的填法共有A．192种B．128种C．96种D．12种9.设函数f（x）=1(1)2x+-(x∈Z)．给出以下三个判断：①f（x）为偶函数；②f（x）为周期函数；③f（x+1）+f（x）=1．其中正确判断的个数为A[来BCD2A．3B．2C．1D．010.若将有理数集Q分成两个非空的子集M与N，且满足M∪N=Q，M∩N=，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称(M，N)为有理数集的一个分割．试判断，对于有理数集的任一分割(M，N)，下列选项中，不可能．．．成立的是A．M没有最大元素，N有一个最小元素B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素二、填空题：11．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是________．12．对于函数fx，若存在常数0a，使得x取定义域内的每一个值，都有2fxfax，则称fx为准奇函数.给定下列函数：①11fxx;②21fxx;③3fxx;④cosfxx.其中所有准奇函数的序号是__________.13.已知2()1fxxbx是R上的偶函数，则实数b__；不等式(1)||fxx的解集为____．14.一个平面图由若干顶点与边组成，各顶点用一串从1开始的连续自然数进行编号，记各边的编号为它的两个端点的编号差的绝对值，若各条边的编号正好也是一串从1开始的连续自然数，则称这样的图形为“优美图”．已知图15是“优美图”，则点A、B与边a所对应的三个数分别为___________.15.对数列{}na，如果*kN及12,,,kR，使1122nknknkknaaaa成立，其中*nN，则称{}na为k阶递归数列．给出下列三个结论：(1)若{}na是等比数列，则{}na为1阶递归数列；(2)若{}na是等差数列，则{}na为2阶递归数列；(3)若数列{}na的通项公式为2nan，则{}na为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是.三、解答题：16.（本小题满分12分）已知△ABC的周长为6，,,BCCAAB依次为a，b，c，成等比数列.（1）求证：03B；（2）求△ABC的面积S的最大值；（3）求BCBA的取值范围.17.（本小题满分12分）如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，BCAB，BCCDAB22，EAEB．（Ⅰ）求证：ABDE；（Ⅱ）求直线EC与平面ABE所成角的正弦值；（Ⅲ）线段EA上是否存在点F，使EC//平面FBD？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．318．(本小题满分l2分)在等比数列}{na中，412a，512163aa．设22122log2log2nnnaab，nT为数列{}nb的前n项和．（Ⅰ）求na和nT；（Ⅱ）若对任意的Nn，不等式nnnT)1(2恒成立，求实数的取值范围．19.(本小题满分l2分)某公司准备将100万元资金投入代理销售业务，现有A,B两个项目可供选择：(1)投资A项目一年后获得的利润X1(万元)的概率分布列如下表所示：X1111217Pa0.4b且X1的数学期望E(X1)=12；(2)投资B项目一年后获得的利润X2(万元)与B项目产品价格的调整有关，B项目产品价格根据销售情况在4月和8月决定是否需要调整，两次调整相互独立且在4月和8月进行价格调整的概率分别为p(0p1)和1p.经专家测算评估:B项目产品价格一年内调整次数X(次)与X2的关系如下表所示：X(次)012X2(万元)4.1211.7620.40（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）求X2的分布列；（Ⅲ）若E(X1)E(X2)，则选择投资B项目，求此时p的取值范围.20.(本小题满分l3分)已知12,FF分别为椭圆22221xyab(0)ab的左右焦点，,MN分别为其左右顶点，过2F的直线l与椭圆相交于,AB两点.当直线l与x轴垂直时，四边形AMBN的面积等于2，且满足222MFABFN.⑴求此椭圆的方程；⑵当直线l绕着焦点2F旋转但不与x轴重合时，求AMANBMBN的取值范围.21.(本小题满分l4分)已知函数21()ln()(0)2fxaxaxxa.（Ⅰ）求()fx的单调区间；（Ⅱ）若12(ln21)a，求证：函数()fx只有一个零点0x，且012axa；（Ⅲ）当45a时，记函数()fx的零点为0x，若对任意120,[0,]xxx且211,xx都有21()()fxfxm成立，求实数m的最大值.（本题可参考数据：99ln20.7,ln0.8,ln0.5945）4高三理科数学综合练习四参考答案一、选择题：BABBDCCCAC二、填空题：11.566，12.①④13.0，{|12}xx14.3、6、315.3三、解答题：16.解：（1）a+b+c=6，b²=ac，不妨设abc，由余弦定理得2222221cos2222acbacacacacBacacac（当且仅当ac时取等号），又0B，故有03B.（2）abc设，，所成等比数列的公比为q（1q），则+6bbbqq①bbbqq②由②得210qq，解得1512q。由①得3516,2121bqq，所以22111sinsin2sin32223SacBbB，即max3S。22222222()2(6)3(3)cos(3)27222acbacacbbbBABCacBb351,22b，279522BABC.注意：由6,22acbbac得02b。由6abcab＞－－得3ab+，所以322b.虽然可以解答第（2）题，但无法正确解答第（3）题。17.（Ⅰ）证明：取AB中点O，连结EO，DO．因为EAEB，所以ABEO．…………1分因为四边形ABCD为直角梯形，BCCDAB22，BCAB，所以四边形OBCD为正方形，所以ODAB．……………2分所以AB平面EOD．……3分所以EDAB．…4分（Ⅱ）解：因为平面ABE平面ABCD，且ABEO，所以EO平面ABCD，所以ODEO．由OEODOB,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyzO．…………5分因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OEODOBOA，设1OB，所以(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)OABCDE．5所以)1,1,1(EC，平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD．设EC与平面ABE所成的角为，所以||3sin|cos,|3||||ECODECODECOD，即EC与平面ABE所成角的正弦值为33．……8分（Ⅲ）解：存在点F，且13EFEA时，有EC//平面FBD．………………9分证明如下：由)31,0,31(31EAEF，)32,0,31(F，所以)32,0,34(FB．设平面FBD的法向量为v),,(cba，则有0,0.BDFBvv所以0,420.33abaz取1a，得)2,1,1(v．………………10分因为ECv0)2,1,1()1,1,1(，且EC平面FBD，所以EC//平面FBD．即点F满足13EFEA时，有EC//平面FBD．………………12分18．解：（Ⅰ）设}{na的公比为q，由5121161552263qqaaa得21q，∴nnnqaa)21(22．---------2分22211211()2122()21111log2log2=log2log2()(21)(21)22121nnnnnaabnnnn∴)1211215131311(21nnTn111)22n121nn（．---------5分（Ⅱ）①当n为偶数时，由2nTn恒成立得，322)12)(2(nnnnn恒成立，即min)322(nn，---6分而322nn随n的增大而增大，∴2n时0)322(minnn，∴0；---------8分②当n为奇数时，由2nTn恒成立得，522)12)(2(nnnnn恒成立，即min)522(nn，-----9分而95222522nnnn，当且仅当122nnn等号成立，∴9．---------11分综上，实数的取值范围0（-，）.-------12分19.解：（Ⅰ）由题意得：0.41,11120.41712.abab解得：0.5,0.1ab==.………………3分（Ⅱ）X2的可能取值为4.12,11.76,20.40.24.12(1)1(1)(1)PXpppp，22211.761(1)(1)(1)(1)PXpppppp，6220.40(1)PXpp.所以X2的分布列为:X24.1211.7620.40Pp(1p)p2+(1p)2p(1p)……………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）可得：2224.12(1)11.76(1)20.40(1)EXpppppp211.76pp.……………………………………10分因为E(X1)E(X2)，所以21211.76pp-++.所以0.40.6p.当选择投资B项目时，p的取值范围是0.4,0.6.……………………………………12分20.解：⑴当直线l与x轴垂直时，由212222AMBNbSaa，得1b.又222MFABFN,所以222bac