2013年中考复习解直角三角形

12013年中考复习——解直角三角形一.中考考纲对解直角三角形部分的要求知识考试要求层次基本要求A略高要求B较高要求C空间与图形解直角三角形勾股定理及其逆定理已知直角三角形的的两边长，会求第三边长会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判断三角形是否为直角三角形锐角三角函数了解锐角的正弦、余弦、正切;知道30°、45°、60°角的三角函数值由某个角的一个三角函数值,会求其余两个三角函数值；会计算含有30°、45°、60°特殊角的三角函数式的值能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加附助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题二.知识框图三.知识要点1.直角三角形边角关系．（1）三边关系：勾股定理：222abc；（双垂图中常用射影定理和直角边之积等于斜边与斜边上的高之积）勾股定理的逆定理：若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的步骤：首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）然后验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形。（若c2a2+b2则△ABC是以∠C为钝角的三角形，若c2a2+b2则△ABC是以∠C为锐角三角形）（2）三角关系：∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C=90°．（3）边角关系（锐角三角函数的概念）2sinAA的对边斜边，叫做A的正弦；cosAA的邻边斜边，叫做A的余弦；tanAAA的对边的邻边，叫做A的正切.2.特殊角的三角函数值3.三角函数常用公式互为余角的三角函数关系．sin（90°－A）=cosA，cos（90°－A）=sinAtanA×tan（90°－A）=1同角的三角函数关系．①平方关系：sin2A+cos2A=l②弦切互化：sintancosAAA4.三角函数的大小比较（一）异名三角函数的大小比较（1）．正弦、正切是增函数．正弦和正切是增函数，三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．（2）．余弦是减函数．余弦是减函数，三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。（二）异名三角函数的大小比较tanA＞sinA，由定义，知tanA=ab，sinA=ac因为b＜c，所以tanA＞sinA5．解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．6.测量中常用的概念：仰角、俯角、坡度、坡比、倾斜角、方位角等α30°45°60°sinα122232cosα322212tanα33133补充：直角三角形内切圆半径公式:r=2cba外接圆半径公式，面积公式（面积法射影定理公式等四.典型例题（考点）例1.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据表中的数据求其它元素的值：abc∠A∠B1230°445°260°535428例2.如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．例3.计算oooo2cos45tan30sin45tan60例4．如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=443，求△ABC的面积（结果可保留根号）．4北东MNBA例5.已知：如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=14，AD=12，sinB=45，求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．例6.如图，MN表示某隧道挖掘工程的一段设计路线，MN的方向为南偏东30°.在M的南偏东60°方向上有一个点A，以点A为圆心、600米为半径的圆形区域为土质疏松地带（危险区）.取MN上一点B，测得BA的方向为南偏东75°.已知MB＝400米，请你通过计算回答，如果不改变方向，挖掘路线是否会通过这一危险区？（2≈1.41，3≈1.73）五、课后练习一、填空题1.在ABCRt△中，490tan3CA，，则sinB的值是（）Ａ．35Ｂ．45Ｃ．34Ｄ．435ＡＢCD2.RtABC△中，90C，abc，，分别ABC，，的对边，下列关系中错误的是（）Ａ．cosbcBＢ．tanbaBＣ．sinbcBＤ．tanabA3.如图，CD是ABCRt△斜边上的高，43ACBC，，则cosBCD的值是（）A.35B.34C.43D.454.如图，已知一坡面的坡度1:3i，则坡角为（）Ａ．15Ｂ．60°Ｃ．30Ｄ．455.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC等于（）A.5B.552C.55D.326.住宅小区有一块草坪如图所示，已知3AB米，4BC米，12CD米，13DA米，且ABBC⊥，这块草坪的面积是（）Ａ．24米2Ｂ．36米2Ｃ．48米2Ｄ．72米27．已知：如图8，梯形ABCD中，451208ADBCBCAB∥，∠，∠，，则CD的长为（）Ａ．863Ｂ．46Ｃ．823Ｄ．4210.已知为锐角，且tan为方程0322xx的一个实数根，则sin的值为（）11.（2012山东济宁，15，3分）如图，在等边△ABC中，D是BC边上一点，延长AD到E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tanAEO∠=________．612.（2012江苏泰州，18，3分）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C,D都在这些小正方形的顶点上，AB,CD相交于点P，则tan∠APD的值是．13.（2012江苏扬州，15，3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果23ABBC，那么tanDCF的值是________.二、填空题1.直角三角形的两边长分别为6、8，则第三边的长为．2.锐角A满足2sin153A，则A∠___________．3.如图，小亮在操场上距离旗杆AB的C处，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角为30．已知9BC米，测角仪的高CD为1.2米，那么旗杆ABOFEBACD(第15题)（第18题图）CABPD7的高为米（结果保留根号）．4.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°,AB=32,则BC=,S△ABC＝三、解答题：1.计算tan30°＋cos230°－sin245°tan45°2．已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB=8cm，BC=10cm，(1)求EC的长；(2)在线段BC上还能找到点P使∠APE=90°吗，求出此时的BP长.3.如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，90ABC，45C，BECD⊥于点E，1AD，22CD，求BE的长度.4.阅读下列题目的解题过程：已知a、b、c为ABC的三边，且满足acbcab222244，试判断ABC的形状。解：222244()acbcabA问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；ＡＤＥＣＢ8（2）错误的原因为：；（3）本题正确的结论为：.7．如图，沿水库拦水坝的背水坡，将坝顶加宽2m，坡度由原来的1：2改为1：3，已知AB=65m，坝长50m求：（1）加宽部分横断面AFEB的面积；（2）完成这一工程需要多少方土?8.（2012四川广元，19,8分）如图，A、B两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高级公路（即线段AB）。经测量，森林保护区中心P点在A城市的北偏东30°方向，B城市的北偏西45°方向上，已知森林保护区的范围在以P为圆心，50千米为半径的圆形区域内，请问：计划修筑的这条公路会不会穿越森林保护区？为什么？7.（2012广西钦州，24，8分）如图所示，小明在自家楼顶上的点A处测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高度，测得电梯楼顶部B处的仰角为45°，底部C处的俯角为26°，已知小明家楼房的高度AD=15米，求电梯楼的高度BC（结果精确到0.1米）。（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49。）915.（2012辽宁本溪，20，12分）如图，△ABC是学生小金家附近的一块三角形绿化区的示意图．为增强体质，他每天早晨都沿着绿化区周边小路AB、BC、CA跑步（小路的宽度不计）．现测得点B在点A的南偏东30方向上，点C在点A的南偏东60的方向上，点B在点C的北偏西75方向上，AC间距离为400米．问小金沿三角形绿化区的周边小路跑一圈共跑了多少米？（参考数据：414.12，732.13）E1019.（2012湖北鄂州，19，8分）小明是一位善于思考的学生，在一次数学活动课上，他将一副直角三角板如图位置摆放，A、B、D在同一直线上，EF∥AD，∠A=∠EDF=90°,∠C=45°,∠E=60°,量得DE=8,试求BD的长。ABDEFC