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§12.4离散型随机变量及其分布列数学RA（理）第十二章概率、随机变量及其分布基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理1．离散型随机变量的分布列(1)如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量；按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．(2)若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理为随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，具有性质：①pi0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的．≥1概率之和2．如果随机变量X的分布列为X10Ppq其中0p1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的．两点分布基础知识题型分类思想方法练出高分基础知识·自主学习知识回顾理清教材要点梳理3．超几何分布列在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率：P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n、M、N∈N*，则称分布列X01…mP…为超几何分布列．CkMCn－kN－MCnNC0M·Cn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnNCmMCn－mN－MCnN基础知识题型分类思想方法练出高分题号答案解析12345C基础知识·自主学习D316(1)√(2)√(3)×(4)√夯实基础突破疑难夯基释疑X01P0.70.3基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一离散型随机变量的分布列的性质【例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22思维启迪解析答案思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一利用分布列的两个性质求解．思维启迪解析答案思维升华离散型随机变量的分布列的性质【例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一由分布列的性质知思维启迪解析答案思维升华1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1∴q＝1－22.离散型随机变量的分布列的性质【例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一思维启迪解析答案思维升华离散型随机变量的分布列的性质【例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22C由分布列的性质知1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1∴q＝1－22.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型一(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．思维启迪解析答案思维升华离散型随机变量的分布列的性质(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．【例1】设X是一个离散型随机变量，其分布列为X－101P121－2qq2则q等于()A．1B．1±22C．1－22D．1＋22C基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．题型分类·深度剖析解由分布列的性质知：0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．题型分类·深度剖析从而由上表得两个分布列为(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练1设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．题型分类·深度剖析(2)|X－1|的分布列为|X－1|0123P0.10.30.30.3基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二求离散型随机变量的分布列【例2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二求离散型随机变量的分布列【例2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．思维启迪解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个值对应的概率，只有正确地理解随机变量取值的意义才能解决这个关键问题．解(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2,3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二求离散型随机变量的分布列【例2】某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至．．．3件，否则不进货．．．，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货．．．的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为X23P1434基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型二求离散型随机变量的分布列思维升华求解离散型随机变量X的分布列的步骤：①理解X的意义，写出X可能取的全部值；②求X取每个值的概率；③写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练24支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．(1)从中任取一支，求其标价X的分布列；(2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列．题型分类·深度剖析解(1)X的可能取值分别为10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故X的分布列为X10203040P14141414(2)根据题意，Y的可能取值为20,30,40，且P(Y＝20)＝1C24＝16，基础知识题型分类思想方法练出高分跟踪训练24支圆珠笔标价分别为10元、20元、30元、40元．(1)从中任取一支，求其标价X的分布列；(2)从中任取两支，若以Y表示取到的圆珠笔的最高标价，求Y的分布列．题型分类·深度剖析P(Y＝30)＝2C24＝13，P(Y＝40)＝3C24＝12.Y203040P161312∴Y的分布列为基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析题型三超几何分布【例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．思维启迪解析思维升华基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析(1)列出符合题意的关于袋中白球个数x的方程；题型三超几何分布思维启迪解析思维升华(2)随机变量X服从超几何分布．【例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析解(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，题型三超几何分布思维启迪解析思维升华设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0,1,2,3.【例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析于是可得其分布列为X0123P112512512112题型三超几何分布思维启迪解析思维升华【例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出．超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．题型三超几何分布思维启迪解析思维升华【例3】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析跟踪训练3盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．解(1)P＝1－C37C39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C，则P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝C12C23C39＋C22C14C39＝542.基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析跟踪训练3盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率；(2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列．(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，P(ξ＝k)＝Ck3C3－k6C39，k＝0,1,2,3.故P(ξ＝0)＝C36C39＝521，P(ξ＝1)＝C13C26C39＝1528；P(ξ＝2)＝C23C16C39＝314，基础知识题型分类思想方法练出高分题型分类·深度剖析跟踪训练3盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个