2015届高考数学二轮复习分类讨论思想提能专训

1提能专训(三)分类讨论思想一、选择题1．(2014·沈阳质检)已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±34x，则该双曲线的离心率为()A.54B.53C.54或53D.35或45[答案]C[解析]焦点在x轴上时，ba＝34，此时离心率e＝ca＝54；焦点在y轴上时，ab＝34，此时离心率e＝ca＝53，故选C.2．(2014·天津河北区质检)已知函数f(x)＝log3x，x0，13x，x≤0，那么不等式f(x)≥1的解集为()A．{x|－3≤x≤0}B．{x|x≤－3或x≥0}C．{x|0≤x≤3}D．{x|x≤0或x≥3}[答案]D[解析]由x0，log3x≥1，得x≥3；由x≤0，13x≥1，得x≤0.故f(x)≥1的解集为{x|x≤0或x≥3}．3．(2014·成都质检)从1,2,3,4,5,6这六个数中，每次取出两个不同的数记为a，b，则共可得到2ba的不同值的个数是()A．20B．22C．24D．28[答案]B[解析]注意到y＝2x是单调递增函数，故只需求ba的不同值的个数．由于(1,2)和(2,4)，(3,6)重复，(1,3)和(2,6)重复，(2,3)和(4,6)重复，故总的个数为A26－8＝22.4．(2014·忻州联考)设Sn是等比数列{an}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2＋2a5＝2am，则m等于()A．6B．7C．8D．10[答案]C[解析]∵S3，S9，S6成等差数列，∴2S9＝S3＋S6.若公比q＝1，显然有2S9≠S3＋S6，因此q≠1，从而2a1－q91－q＝a1－q31－q＋a1－q61－q，2q9－q6－q3＝0，即2q6－q3－1＝0，∴q3＝－12，q3＝1(舍去)．∵a2＋a5＝2am，∴a2(1＋q3－2qm－2)＝0,1＋q3－2qm－2＝0，∴qm－2＝14，∴m＝8.5．(2014·洛阳统考)已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝CA＝3，SA＝SB＝SC，球心O到平面ABC的距离为1，则SA与平面ABC所成角的大小为()A．30°B．60°C．30°或60°D．45°或60°[答案]C[解析]球心位置有以下两种情况：球心在三棱锥内部；球心在三棱锥外部．球心在三棱锥内部时，三棱锥为正三棱锥，设O′为△ABC的中心，在△ABC中，可求得O′A＝3，所以可得OA＝2，SO′＝3，SA与平面ABC所成的角即为∠SAO′，由tan∠SAO′＝33＝3得，∠SAO′＝60°.同理可得第二种情况中所成角为30°.6．若函数f(x)满足：对定义域内的任意x，都有kf(x＋1)－f(x＋k)f(x)，则称函数f(x)为“k度函数”，则下列函数中为“2度函数”的是()A．f(x)＝2x＋1B．f(x)＝exC．f(x)＝lnxD．f(x)＝xsinx[答案]C[解析]若函数f(x)为“2度函数”，则有2f(x＋1)－f(x＋2)f(x)，即f(x＋2)＋f(x)2f(x＋1)．A项，f(x＋2)＋f(x)－2f(x＋1)＝[2(x＋2)＋1]＋2x＋1－2[2(x＋1)＋1]＝0，故f(x＋2)＋f(x)＝2f(x＋1)，该项不满足．B项，f(x＋2)＋f(x)－2f(x＋1)＝ex＋2＋ex－2ex＋1＝ex(e2＋1－2e)＝ex(e－1)20，故f(x＋2)＋f(x)2f(x＋1)，该项不满足．C项，f(x＋2)＋f(x)－2f(x＋1)＝ln(x＋2)＋lnx－2ln(x＋1)＝lnx＋xx＋2，而x＋xx＋2＝x2＋2xx＋2＝x＋2－1x＋2＝1－1x＋21，所以lnx＋xx＋2ln1＝0，即f(x＋2)＋f(x)2f(x＋1)，故该项满足．3D项，取x＝－1，则f(－1)＝－1×sin(－1)＝sin1，f(0)＝0×sin0＝0，f(1)＝1×sin1＝sin1，故知f(1)＋f(－1)－2f(0)＝2sin10，即f(1)＋f(－1)2f(0)，故该项不满足．综上知，故选C.7．已知函数f(x)＝2x－a3，x≤0，lnx－2x＋a，x0有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A．(0,3]B．(1＋ln2,3]C．(1－ln2,3]D．[－3,3][答案]B[解析]要使函数f(x)有三个不同的零点，则满足当x≤0时，方程f(x)＝2x－a3＝0有一个根，此时满足a0，f＝1－a3≥0，解得0a≤3.函数f(x)＝lnx－2x＋a(x0)需有两个不同的零点，即等价于关于x的方程a＝2x－lnx在区间(0，＋∞)上有两个不同的实数根，令函数g(x)＝2x－lnx，g′(x)＝2－1x，当x12时，g′(x)0，函数g(x)在12，＋∞上单调递增；当0x12时，g′(x)0，函数g(x)在0，12上单调递减．g(x)min＝g12＝1－ln12＝1＋ln2.当x→0，g(x)→＋∞，当x→＋∞，g(x)→＋∞，要使方程a＝2x－lnx在区间(0，＋∞)上有两个不同的实数根，则a1＋ln2.所以函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围为(1＋ln2,3]．8．设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹可能是()A．①③⑤B．②④⑤C．①②④D．①②③[答案]D[解析]设圆O1和圆O2的半径分别是r1，r2，|O1O2|＝2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦点为O1，O2，且离心率分别是2cr1＋r2和2c|r1－r2|的圆锥曲线(当r1＝r2时，O1O2的中垂线是轨迹的一部分，当c＝0时，轨迹是两个同心圆)．当r1＝r2且r1＋r22c时，圆P的圆心轨迹4可能为②；当02c|r1－r2|时，圆P的圆心轨迹可能为③；当r1≠r2且r1＋r22c时，圆P的圆心轨迹可能为①.故选D.9．(2014·石家庄质检二)已知函数f(x)＝a·ex，x≤0，－lnx，x0，其中e为自然对数的底数，若关于x的方程f(f(x))＝0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围为()A．(－∞，0)B．(－∞，0)∪(0,1)C．(0,1)D．(0,1)∪(1，＋∞)[答案]B[解析]由f(f(x))＝0得f(x)＝1，作出函数f(x)的图象，如图所示，当a0,0a1时直线y＝1与函数f(x)的图象有且只有一个交点，所以实数a的取值范围是(－∞，0)∪(0,1)，故选B.10．设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，则|PF1||PF2|的值为()A．2B.72C．2或72D．3或74[答案]C[解析]若∠PF2F1＝90°，则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，5∴|PF1||PF2|＝72.若∠F2PF1＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴|PF1||PF2|＝2.综上所述，|PF1||PF2|＝2或72.11．(2014·兰州诊断)函数y＝ax－|x|－1(a0且a≠1)有且只有一个零点，则实数a的取值范围是()A．[e，＋∞)B.0，1eC.0，1e∪[e，＋∞)D.1e，1∪(1，e][答案]C[解析]由ax－|x|－1＝0得ax＝|x|＋1.在同一坐标系下画出函数y＝ax与y＝|x|＋1的大致图象，结合图象可知，当a1时，要使函数y＝ax与y＝|x|＋1的图象有唯一公共点，y＝ax在点(0,1)处的切线的斜率不小于1，于是有lna≥1，a≥e；当0a1时，要使函数y＝ax与y＝|x|＋1的图象有唯一公共点，y＝ax在点(0,1)处的切线的斜率不超过－1，于是有lna≤－1,0a≤1e.综上所述，实数a的取值范围是0，1e∪[e，＋∞)，故选C.12．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(－∞，－2)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)[答案]B[解析]由题意知，f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2)，当a＝0时，不满足题意．当a≠0时，令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝2a.当a0时，f(x)在(－∞，0]，2a，＋∞上单调递增，在0，2a上单调递减．又f(0)＝1，此时f(x)在(－∞，0)上存在零点，不满足题意．当a0时，f(x)在－∞，2a，[0，＋∞)上单调递减，在2a，0上单调递增，要使f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则需f2a0，即a×2a3－3×2a2＋10，解得a－2，故选B.二、填空题13．(2014·沈阳质检)在不等边△ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分6别为a，b，c，且有cosAcosB＝ba，则角C的大小为________．[答案]π2[解析]依题意得acosA＝bcosB，从而sinAcosA＝sinBcosB，sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，又△ABC是不等边三角形，因此A＋B＝π2，C＝π2.14．(2014·福州质检)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________．[答案](18＋23)cm2或(12＋43)cm2[解析]该几何体有两种情况：第一种，由如图(1)所示的棱长为2的正方体挖去一个三棱锥P－ABC所得到的，所求的表面积为6×22－3×12×2×2＋34×(22)2＝(18＋23)cm2.第二种为如图(2)所示的棱长为2的正方体挖去三棱锥P－ABC与三棱锥M－DEF所得到的，所求的表面积为6×22－6×12×2×2＋2×34×(22)2＝(12＋43)cm2.15．(2014·太原模拟)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________．7[答案]22[解析]四边形PACB的面积可表示为S＝2×12×|PA|×1＝|PA|＝|PC|2－1，故当|PC|最小时，四边形PACB的面积最小．而|PC|的最小值是点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，此时|PC|＝3，故Smin＝22.16．(2014·广州综合测试)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[－1.5]＝－2，[1.5]＝1.设函数f(x)＝[x[x]]，当x∈[0，n)(n∈N*)时，函数f(x)的值域为集合A，则A中的元素个数为________．[答案]n2－n＋22[解析]当n＝1时，A＝{0}，A中有1个元素，当n≥2时，若x∈[0,1)，f(x)＝0；若x∈[1,2)，f(x)＝[x]＝1；若x∈[2,3)，f(x)＝[2x]＝4,5；若x∈[3,4)，f(x)＝[3x]＝9,10,11；若x∈[4,5)，f(x)＝[4x]＝16,17,18,19；……若x∈[n－1，n)，f(x)＝[(n－1)x]共有n－1个函数值．故当n≥2时，集合A中的元素个数为1＋1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)＝1＋n－n2＝n2－n＋22，又当n＝1时，符合上式，所以A中的元素个数为n2－n＋22.三、解答题17．(2014·江苏模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2，S6＝22.(1)求Sn的表达式；(2)若从{an}中抽取一个公比为q的等比数列{akn}，其中k1＝1，且k1k2…kn(kn∈N*)．①当q取最小值时，