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第4练再谈“三个二次”的转化策略题型一函数与方程的转化例1设定义域为R的函数f(x)＝|lgx|，x0，－x2－2x，x≤0，则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为________．题型二函数与不等式的转化例2已知一元二次不等式f(x)0的解集为{x|x－1或x12}，则f(10x)0的解集为()A．{x|x－1或xlg2}B．{x|－1xlg2}C．{x|x－lg2}D．{x|x－lg2}题型三方程与不等式的转化例3已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的取值范围．总结提高“三个二次”是一个整体，不可分割．有关“三个二次”问题的解决办法通常是利用转化与化归思想来将其转化，其中用到的方法主要有数形结合、分类讨论的思想，其最基本的理念可以说是严格按照一元二次不等式的解决步骤来处理．1．若A＝{x|x2＋(p＋2)x＋1＝0，x∈R}，B＝{x|x0}，且A∩B＝∅，则实数p的取值范围是()A．p－4B．－4p0C．p≥0D．R2．已知函数f(x)＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为()A．[1，＋∞)B．[0,2]C．(－∞，－2]D．[1,2]3．方程x2－32x－m＝0在x∈[－1,1]上有实根，则m的取值范围是()A．m≤－916B．－916m52C．m≥52D．－916≤m≤524．已知函数f(x)＝x＋1，x≤0，x2－2x＋1，x0，若关于x的方程f2(x)－af(x)＝0恰有5个不同的实数解，则a的取值范围是()A．(0,1)B．(0,2)C．(1,2)D．(0,3)5．(2013·重庆)若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2.若f(x1)＝x1x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根的个数为()A．3B．4C．5D．67．若关于x的不等式(2x－1)2ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是__________．8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋2，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，则a的取值范围________．9．已知函数f(x)＝2ax2＋2x－3.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，则实数a的取值范围为______________．10．已知定义在R上的单调递增奇函数f(x)，若当0≤θ≤π2时，f(cos2θ＋2msinθ)＋f(－2m－2)0恒成立，则实数m的取值范围是________．11．已知函数f(x)＝2asin2x－23asinxcosx＋a＋b(a≠0)的定义域是0，π2，值域是[－5,1]，求常数a，b的值．12．已知函数f(x)＝ax2＋ax和g(x)＝x－a，其中a∈R，且a≠0.若函数f(x)与g(x)的图象相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试求△OAB的面积S的最大值．第5练如何用好基本不等式题型一利用基本不等式求解最大值、最小值问题例1(1)设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当zxy取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0B.98C．2D.94(2)函数y＝x－1x＋3＋x－1的最大值为________．题型二利用基本不等式求最值的综合性问题例2如图所示，在直角坐标系xOy中，点P(1，12)到抛物线C：y2＝2px(p0)的准线的距离为54.点M(t,1)是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB的中点Q(m，n)在直线OM上．(1)求曲线C的方程及t的值；(2)记d＝|AB|1＋4m2，求d的最大值．总结提高(1)利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”或“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式求出最值．(2)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”，所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续使用基本不等式求最值，必须保证两次等号成立的条件一致，否则最值就取不到．1．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(ab)，其全程的平均时速为v，则()A．avabB．v＝abC.abva＋b2D．v＝a＋b22．若函数f(x)＝x＋1x－2(x2)在x＝a处取最小值，则a等于()A．1＋2B．1＋3C．3D．43．设a0，b0，若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为()A．8B．4C．1D.144．已知m＝a＋1a－2(a2)，n＝x－2(x≥12)，则m与n之间的大小关系为()A．mnB．mnC．m≥nD．m≤n5．已知正数x，y满足x＋22xy≤λ(x＋y)恒成立，则实数λ的最小值为()A．1B．2C．3D．46．已知a0，b0，若不等式m3a＋b－3a－1b≤0恒成立，则m的最大值为()A．4B．16C．9D．37．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．8．已知a0，b0，函数f(x)＝x2＋(ab－a－4b)x＋ab是偶函数，则f(x)的图象与y轴交点纵坐标的最小值为________．9．若对任意x0，xx2＋3x＋1≤a恒成立，则a的取值范围是________．10．(1)已知0x25，求y＝2x－5x2的最大值；(2)求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x－1)的最小值．11．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－120(1＋k2)x2(k0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．12．为了响应国家号召，某地决定分批建设保障性住房供给社会．首批计划用100万元购得一块土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．(1)若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元(综合费用是建筑费用与购地费用之和)，写出y＝f(x)的表达式；(2)为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？第6练处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题例1已知点M(x，y)的坐标满足不等式组x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0，则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是()A．1B．2C．3D．4题型二求解目标函数在可行域中的最值问题例2若变量x，y满足约束条件x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________．题型三利用线性规划求解实际应用题例3某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题例4设变量x，y满足约束条件y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8，则lg(y＋1)－lgx的取值范围为()A．[0,1－2lg2]B．[1，52]C．[12，lg2]D．[－lg2,1－2lg2]总结提高(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础．(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线y＝kx，再平移此直线．(3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．1．实数x，y满足y≥|x－1|，y≤1，则不等式组所围成图形的面积为()A．4B．2C.12D．12．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是()A．[－1,0]B．[0,1]C．[0,2]D．[－1,2]3．(2014·广东)若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n等于()A．5B．6C．7D．84．设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为()A．(1,1＋2)B．(1＋2，＋∞)C．(1,3)D．(3，＋∞)5．若P是满足不等式组y≤x，x＋y－2≤0，y0表示的平面区域内的任意一点，点P到直线3x＋4y－12＝0的距离为d，则d的取值范围是()A．[1，125]B．[1，125)C．(1，65)D．(34，1]6．设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是()A．(－∞，－43)B．(－∞，13)C．(－∞，－23)D．(－∞，－53)7．设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值为________．8．已知不等式组x≤1，x＋y＋2≥0，kx－y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________．9．4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元．10．设x，y满足约束条件2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a0，b0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．11．给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0.令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．12．已知t是正实数，如果不等式组x＋y≤t，x－y≤0，x≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________．