2015届高考数学考前三个月必考题型过关练第44练矩阵与变换理

-1-第44练矩阵与变换题型一常见矩阵变换的应用例1已知曲线C：xy＝1.(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．破题切入点把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解．解(1)设P(x0，y0)是曲线C：xy＝1上的任一点，点P(x0，y0)在旋转变换后对应的点为P′(x′0，y′0)，则x0′y0′＝cos45°－sin45°sin45°cos45°x0y0＝22－222222x0y0＝22x0－22y022x0＋22y0.∴x′0＝22x0－22y0，y′0＝22x0＋22y0，∴x0＝22x′0＋y′0，y0＝22y′0－x′0.又x0y0＝1，∴22(y′0＋x′0)×22(y′0－x′0)＝1.∴y′20－x′20＝2，即曲线C：xy＝1旋转后所得到的曲线C′的方程为y2－x2＝2.(2)曲线C′的焦点坐标为F1(0，－2)，F2(0,2)，渐近线方程为y＝±x.再顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标为(－2，－2)和(2，2)；渐近线方程为x＝0，y＝0.题型二二阶矩阵的逆矩阵-2-例2设矩阵M＝a00b(其中a0，b0)．(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M－1；(2)若曲线C：x2＋y2＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x24＋y2＝1，求a，b的值．破题切入点对于二阶矩阵，若有AB＝BA＝E，则称B为A的逆矩阵．因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解．解(1)设矩阵M的逆矩阵M－1＝x1y1x2y2，则MM－1＝1001.又M＝2003，所以2003x1y1x2y2＝1001.所以2x1＝1,2y1＝0,3x2＝0,3y2＝1，即x1＝12，y1＝0，x2＝0，y2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝120013.(2)设曲线C上任意一点P(x，y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′(x′，y′)，则a00bxy＝x′y′，即ax＝x′，by＝y′.又点P′(x′，y′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1.则a2x24＋b2y2＝1为曲线C的方程．又已知曲线C的方程为x2＋y2＝1，故a2＝4，b2＝1.又a0，b0，所以a＝2，b＝1.题型三求矩阵的特征值与特征向量例3已知矩阵A＝1－1a1，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3)．(1)求实数a的值；(2)求矩阵A的特征值及特征向量．破题切入点(1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向-3-量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ0)，或者方向相反(λ0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量．(2)计算矩阵M＝abcd的特征向量的步骤如下：①由矩阵M得到特征多项式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d；②求特征多项式的根，即求λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0的根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程λ－ax－by＝0－cx＋λ－dy＝0，求解得非零解对应的向量，即是矩阵M对应的特征向量．解(1)由题意得1－1a111＝0－3，所以a＋1＝－3，所以a＝－4.(2)由(1)知A＝1－1－41，令f(λ)＝λ－114λ－1＝(λ－1)2－4＝0.解得A的特征值为λ＝－1或3.当λ＝－1时，由－2x＋y＝04x－2y＝0得矩阵A的属于特征值－1的一个特征向量为12；当λ＝3时，由2x＋y＝04x＋2y＝0得矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为1－2.总结提高(1)在解决通过矩阵进行平面曲线的变换问题时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆．(2)对于二阶矩阵，要能够熟练地根据常见的几种变换的坐标形式和矩阵形式相互转化的规则，直接指明对应的变换．(3)对于常见的变换，要能够根据前后的图形中的点的坐标变换规律准确写出变换矩阵．(4)对于二阶矩阵A而言，至多有两个特征值，将特征值λ代入Aα＝λα，即可求得对应的特征向量α.(5)关于特征值与特征向量的讨论与矩阵变换性质、矩阵的乘积、行列式以及线性方程组的解等有密切的联系，或说是所学知识的一个综合运用．1．求将曲线y2＝x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程．解由题意得旋转变换矩阵M＝cos90°－sin90°sin90°cos90°＝0－110，-4-设P(x0，y0)为曲线y2＝x上任意一点，变换后变为另一点(x，y)，则xy＝0－110x0y0，即x＝－y0，y＝x0，所以y0＝－x，x0＝y.又因为点P在曲线y2＝x上，所以y20＝x0，故(－x)2＝y，即y＝x2为所求的曲线方程．2．在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积，其中M＝0110，N＝0－110.解由在矩阵线性变换下的几何意义可知，在矩阵N＝0－110作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转90°得到的图形；在矩阵M＝0110作用下，一个图形变换为与之关于直线y＝x对称的图形，因此，△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1.3．(2013·福建)已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝1201对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.(1)求实数a，b的值；(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且Ax0y0＝x0y0，求点P的坐标．解(1)设直线l：ax＋y＝1上任意点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M′(x′，y′)．由x′y′＝1201xy＝x＋2yy，得x′＝x＋2y，y′＝y.又点M′(x′，y′)在l′上，所以x′＋by′＝1，即x＋(b＋2)y＝1，依题意得a＝1，b＋2＝1，解得a＝1，b＝－1.(2)由Ax0y0＝x0y0，得x0＝x0＋2y0，y0＝y0，解得y0＝0.又点P(x0，y0)在直线l上，所以x0＝1.故点P的坐标为(1,0)．4．已知在二阶矩阵M对应变换的作用下，四边形ABCD变成四边形A′B′C′D′，其中A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，A′(3，－3)，B′(1,1)，D′(－1，－1)．-5-(1)求出矩阵M；(2)确定点D及点C′的坐标．解(1)设M＝abcd，则有abcd11＝3－3，abcd－11＝11，故a＋b＝3，c＋d＝－3，－a＋b＝1，－c＋d＝1，解得a＝1，b＝2，c＝－2，d＝－1，∴M＝12－2－1.(2)由12－2－1－1－1＝－33，知C′(－3,3)，由－13－232313－1－1＝1－1，知D(1，－1)．5．设A＝2142，问A是否可逆？如果可逆，求其逆矩阵．解设A＝2142是可逆的，其逆矩阵B＝xyuv，那么应该有BA＝AB＝E，即xyuv2142＝1001，①2142xyuv＝1001.②由①得2x＋4y＝1，③x＋2y＝0，④2u＋4v＝0，⑤u＋2v＝1.⑥④×3－③×1得(2×2－4×1)y＝－1，即0y＝－1，这说明上面的方程组无解．从而，不存在矩阵B使得BA＝AB＝E，所以，矩阵A＝2142不可逆．6．(2013·江苏)已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.解设矩阵A的逆矩阵A－1＝abcd，-6-则－1002abcd＝1001，即－a－b2c2d＝1001故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝12，从而A的逆矩阵A－1＝－10012，所以A－1B＝－100121206＝－1－203.7．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵M＝k001，N＝0110，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．解由题设得MN＝k0010110＝0k10.由0k1000＝00，0k10－20＝0－2，0k10－21＝k－2，可知A1(0,0)，B1(0，－2)，C1(k，－2)．计算得△ABC的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，由题设知|k|＝2×1＝2，所以k的值为－2或2.8．给定矩阵A＝12－14，B＝53.(1)求A的特征值λ1，λ2及对应的特征向量α1，α2；(2)求A4B.解(1)设A的一个特征值为λ，由题意知λ－1－21λ－4＝0，(λ－2)(λ－3)＝0，λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由12－14xy＝2xy，得A的属于特征值2的特征向量为α1＝21，-7-当λ2＝3时，由12－14xy＝3xy，得A的属于特征值3的特征向量为α2＝11.(2)由于B＝53＝221＋11＝2α1＋α2，故A4B＝A4(2α1＋α2)＝2(24α1)＋(34α2)＝32α1＋81α2＝6432＋8181＝145113.9．已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并且矩阵M对应的变换将点(－1,2)变换成(－2,4)．(1)求矩阵M；(2)求矩阵M的另一个特征值，及对应的一个特征向量e2的坐标之间的关系；(3)求直线l：x－y＋1＝0在矩阵M的作用下的直线l′的方程．解(1)设M＝abcd，则abcd11＝811＝88，故a＋b＝8，c＋d＝8.abcd－12＝－24，故－a＋2b＝－2，－c＋2d＝4.联立以上两方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝6244.(2)由(1)知，矩阵M的特征多项式为f(λ)＝λ－6－2－4λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16，故其另一个特征值为λ＝2.设矩阵M的另一个特征向量是e2＝xy，则Me2＝6x＋2y4x＋4y＝2xy，解得2x＋y＝0.(3)设点(x，y)是直线l上的任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为(x′，y′)，则6244xy＝x