2015届高考数学考前三个月必考题型过关练第6练处理好“线性规划问题”的规划理

-1-第6练处理好“线性规划问题”的规划题型一不等式组所确定的区域问题例1已知点M(x，y)的坐标满足不等式组x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0，则此不等式组确定的平面区域的面积S的大小是________．破题切入点先画出点M(x，y)的坐标满足的可行域，再研究图形的形状特征，以便求出其面积．答案1解析作出不等式组x－2≤0，y－1≤0，x＋2y－2≥0表示的平面区域，如图所示，则此平面区域为△ABC及其内部，且点A(2,0)，B(0,1)，C(2,1)，于是，S＝12×2×1＝1.题型二求解目标函数在可行域中的最值问题例2若变量x，y满足约束条件x＋y≤2，x≥1，y≥0，则z＝2x＋y的最大值与最小值的和为________．破题切入点先根据已知约束条件画出可行域，再利用目标函数z＝2x＋y的几何意义，即可求得最大值与最小值．答案6解析-2-画出可行域，如图所示，由图象，可得当y＝－2x＋z经过点B(2,0)时，zmax＝4；当y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmin＝2.故填6.题型三利用线性规划求解实际应用题例3某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900人旅行，A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为________元．破题切入点设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，总租金为z元，可得目标函数z＝1600x＋2400y.结合题意，建立关于x，y的不等式组，计算A，B型号客车的人均租金，可得租用B型车的成本比A型车低，因此在满足不等式组的情况下尽可能多地租用B型车，可使总租金最低．答案36800解析设租用A，B两种型号的客车分别为x辆，y辆，所用的总租金为z元，则z＝1600x＋2400y，其中x，y满足不等式组36x＋60y≥900，y－x≤7，y＋x≤21.(x，y∈N)画出可行域，可知在x＝5，y＝12时，可载客36×5＋60×12＝900(人)，符合要求且此时的总租金z＝1600×5＋2400×12＝36800，达到最小值．题型四简单线性规划与其他知识的综合性问题例4设变量x，y满足约束条件y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8，则lg(y＋1)－lgx的取值范围为________．-3-破题切入点先画出不等式组所确定的可行域，将目标函数化为lgy＋1x，利用数形结合的方法解t＝y＋1x的最值，然后确定目标函数的最值，从而求其范围．答案[0,1－2lg2]解析如图所示，作出不等式组y≤3x－2，x－2y＋1≤0，2x＋y≤8确定的可行域．因为lg(y＋1)－lgx＝lgy＋1x，设t＝y＋1x，显然，t的几何意义是可行域内的点P(x，y)与定点E(0，－1)连线的斜率．由图，可知点P在点B处时，t取得最小值；点P在点C处时，t取得最大值．由x－2y＋1＝0，2x＋y＝8，解得x＝3，y＝2，即B(3,2)；由y＝3x－2，2x＋y＝8，解得x＝2，y＝4，即C(2,4)．故t的最小值为kBE＝2－－13＝1，t的最大值为kCE＝4－－12＝52，所以t∈[1，52]．又函数y＝lgx为(0，＋∞)上的增函数，所以lgt∈[0，lg52]，即lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0，lg52]．而lg52＝lg5－lg2＝1－2lg2，所以lg(y＋1)－lgx的取值范围为[0,1－2lg2]．总结提高(1)准确作出不等式组所确定的平面区域是解决线性规划问题的基础．(2)求解线性目标函数的最大值或最小值时，一般思路是先作出目标函数对应的过原点的直线-4-y＝kx，再平移此直线．(3)求解线性规划应用题的一般步骤：①设出未知数；②列出线性约束条件；③建立目标函数；④求出最优解；⑤转化为实际问题．1．实数x，y满足y≥|x－1|，y≤1，则不等式组所围成图形的面积为________．答案1解析实数x，y满足y≥|x－1|，y≤1，它表示的可行域如图所示．不等式组所围成的图形是三角形，其三个顶点的坐标分别为(1,0)，(0,1)，(2,1)，所以所围成图形的面积为12×2×1＝1.2．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域x＋y≥2，x≤1，y≤2上的一个动点，则OA→·OM→的取值范围是________．答案[0,2]解析作出可行域，如图所示，由题意OA→·OM→＝－x＋y.设z＝－x＋y，作l0：x－y＝0，易知，过点(1,1)时z有最小值，zmin＝－1＋1＝0；过点(0,2)时z有最大值，zmax＝0＋2＝2，∴OA→·OM→的取值范围是[0,2]．-5-3．若变量x，y满足约束条件y≤x，x＋y≤1，y≥－1，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝________.答案6解析画出可行域，如图阴影部分所示．由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z.由y＝x，y＝－1得x＝－1，y＝－1，∴A(－1，－1)．由x＋y＝1，y＝－1得x＝2，y＝－1，∴B(2，－1)．当直线y＝－2x＋z经过点A时，zmin＝2×(－1)－1＝－3＝n.当直线y＝－2x＋z经过点B时，zmax＝2×2－1＝3＝m，故m－n＝6.4．设m1，在约束条件y≥x，y≤mx，x＋y≤1下，目标函数z＝x＋my的最大值小于2，则m的取值范围为________．答案(1,1＋2)解析变形目标函数为y＝－1mx＋zm，由于m1，所以－1－1m0，不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据目标函数的几何意义，只有直线y＝－1mx＋zm在y轴上的截距最大时，目标-6-函数取得最大值．显然在点A处取得最大值，由y＝mx，x＋y＝1，得交点A11＋m，m1＋m，所以目标函数的最大值是11＋m＋m21＋m2，即m2－2m－10，解得1－2m1＋2，故m的取值范围是(1,1＋2)．5．若P是满足不等式组y≤x，x＋y－2≤0，y0表示的平面区域内的任意一点，点P到直线3x＋4y－12＝0的距离为d，则d的取值范围是________．答案[1，125)解析作出可行域为△AOB(但不包括OB上的点)及直线3x＋4y－12＝0，如图所示．结合图形，可知点A(1,1)到直线3x＋4y－12＝0的距离最小，最小值dmin＝|3＋4－12|5＝1；原点O(0,0)到直线3x＋4y－12＝0的距离最大，最大值dmax＝|0×3＋0×4－12|5＝125.又y0，所以d∈[1，125)．6．设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，则m的取值范围是________．答案(－∞，－23)解析问题等价于直线x－2y＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m，m)不可能在第一和第三象限，而直线x－2y＝2经过第一、三、四象限，则点(－m，m)只能在第-7-四象限，可得m0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x－2y＝2与阴影部分有公共点，则点(－m，m)在直线x－2y－2＝0的下方，故－m－2m－20，即m－23.7．设变量x，y满足约束条件x－y＋2≥0，x－5y＋10≤0，x＋y－8≤0，则目标函数z＝3x－4y的最大值为________．答案3解析如图所示，作出不等式组所表示的可行域，故当直线y＝34x－14z在x轴上的截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由图，可知当y＝34x－14z经过点C时z取得最大值，由x－5y＋10＝0，x＋y－8＝0，解得x＝5，y＝3，即C(5,3)，故目标函数的最大值为z＝3×5－4×3＝3.8．已知不等式组x≤1，x＋y＋2≥0，kx－y≥0表示的平面区域为Ω，其中k≥0，则当Ω的面积取得最小值时，k的值为________．答案1解析依题意作图，如图所示，要使平面区域Ω的面积最小，即使S△OAD＋S△OBC最小，又直线x＋y＋2＝0与y轴的交点的坐标为A(0，－2)，直线x＋y＋2＝0与y＝kx的交点的坐标为D(－2k＋1，－2kk＋1)，直线y＝kx与x＝1的交点的坐标为C(1，k)，k≥0，所以S△OAD＋S△OBC＝12|OA|·|xD|＋12|OB|·|yC|＝2k＋1＋12·k＝2k＋1＋12＋k2－12＝2k＋1＋k＋12－12≥2－12＝32，当且仅当2k＋1＝k＋12时取等号，即k＝1或k＝－3(舍去)．所以满足条件的k的值为1.9．4件A商品与5件B商品的价格之和不小于20元，而6件A商品与3件B商品的价格之和-8-不大于24，则买3件A商品与9件B商品至少需要________元．答案22解析设1件A商品的价格为x元，1件B商品的价格为y元，买3件A商品与9件B商品需要z元，则z＝3x＋9y，其中x，y满足不等式组4x＋5y≥20，6x＋3y≤24，x≥0，y≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A(0,4)，B(0,8)，C(103，43)．当y＝－13x＋19z经过点C时，目标函数z取得最小值．所以zmin＝3×103＋9×43＝22.因此当1件A商品的价格为103元，1件B商品的价格为43元时，可使买3件A商品与9件B商品的费用最少，最少费用为22元．10．设x，y满足约束条件2x－y＋2≥0，8x－y－4≤0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝abx＋y(a0，b0)的最大值为8，则a＋b的最小值为________．答案4解析由z＝abx＋y，得y＝－abx＋z，所以直线的斜率为－ab0，作出可行域，如图，由图象，可知当y＝－abx＋z经过点B时，z取得最大值．-9-由2x－y＋2＝0，8x－y－4＝0，得x＝1，y＝4，即B(1,4)，代入z＝abx＋y＝8，得ab＋4＝8，即ab＝4，所以a＋b≥2ab＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，所以a＋b的最小值为4.11．给定区域D：x＋4y≥4，x＋y≤4，x≥0.令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．答案6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条．12．(2014·盐城模拟)已知t是正实数，如果不等式组x＋y≤t，x－y≤0，x≥0表示的区域内存在一个半径为1的圆，则t的最小值为________．答案2＋22解析画出不等式组表示的平面区域，当t是正实数时，所表示的区域为第一象限的一个等腰直角三角形．依题意，它有一个半径为1的内切圆，不妨设斜边|OB|＝t，则两直角边长|AB|＝|OA|＝22t，所以22t＋22t－t2＝1，求得t＝22－1＝22＋2，即tmin＝2＋22.