2015年1月上海市奉贤区高三数学(理科)一模试卷及参考答案

第1页共9页EDACB2015年1月上海市奉贤区高三数学(理科)一模试卷及参考答案一、填空题（每空正确3分，满分36分）1．已知全集UR，集合{|21}Pxx，则P.2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，其中A种型号产品有16件，那么此样本的容量n.3．设41:x，mx:，若是的充分条件，则实数m的取值范围是.4．若双曲线122kyx的一个焦点是(3,0)，则实数k.5．已知圆222:Cxyr与直线34100xy相切，则圆C的半径r.6．若i1是实系数一元二次方程02qpxx的一个根，则qp.7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是.8．函数2,2,sinxxy的反函数为.9．在ABC中，已知1,4ACAB，且ABC的面积3S，则ACAB的值为.10．已知cos200sin为单位矩阵，且,2、，则tan().11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，1AB，2BC，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧EB、EC（E在线段AD上）.由两圆弧EB、EC及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为.12．定义函数348122()1()222xxfxxfx，则函数()()6gxxfx在区间8,1内的所有零点的和为.二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）13．正方体中两条面对角线的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行、相交、异面都有可能14．下列命题中正确的是（）A．任意两复数均不能比较大小B．复数z是实数的充要条件是zz第2页共9页C．复数z是纯虚数的充要条件是0ImzD．1i的共轭复数是1i15．与函数yx有相同图像的一个函数是（）A．yxB．log(01)axyaaa且C．2xyxD．log(01)xayaaa且16．下列函数是在(0,1)上为减函数的是（）A．cosyxB．2xyC．sinyxD．xytan17．在空间中，设m、n是不同的直线，、是不同的平面，且m，n，则下列命题正确的是（）A．若nm//，则//B．若m、n异面，则、平行C．若m、n相交，则、相交D．若nm，则18．设),(baP是函数3)(xxf图像上任意一点，则下列各点中一定．．在该图像上的是（）A．),(1baPB．),(2baPC．),(3baPD．),(4baP19．设椭圆)0(12222babyax的左、右焦点分别为1F、2F，上顶点为B，若2122BFFF，则该椭圆的方程为（）A．13422yxB．1322yxC．1222yxD．1422yx20．在二项式612x的展开式中，系数最大项的系数是（）A．20B．160C．240D．19221．已知数列{}na的首项11a，*13()nnaSnN，则下列结论正确的是（）A．数列是{}na等比数列B．数列23naaa，，，是等比数列C．数列是{}na等差数列D．数列23naaa，，，是等差数列22．在ABC中，CBCBAsinsinsinsinsin222，则角A的取值范围是（）A．06，B．,6C．03，D．,323．对于使()fxM成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫做()fx的上确界，若a、bR且1ab，则122ab的上确界为（）A．92B．92C．41D．424．定义两个实数间的一种新运算“”：*lg(1010)xyxy，x、yR。对于任意实数a、b、c，给出如下结论：①abba；②()()abcabc；③()()()abcacbc．其中正确结论的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）(写出必要的解题步骤)25．判断函数1()lg1xfxx的奇偶性．第3页共9页26．如图，四棱锥PABCD的侧棱都相等，底面ABCD是正方形，O为对角线AC、BD的交点，POOA，求直线PA与面ABCD所成的角的大小．27．已知函数23()3cossincos2fxxxx，求()fx的最小正周期，并求()fx在区间,64上的最大值和最小值．28．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油型公交车。每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，更换的新车为电力型车和混合动力型车。今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆，计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．设na、nb分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，设nS、nT分别为n年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。（1）求nS、nT，并求n年里投入的所有新公交车的总数nF；（2）该市计划用7年的时间完成全部更换，求a的最小值．29．曲线C是平面内到直线1:1lx和直线2:1ly的距离之积等于常数2(0)kk的点的轨迹，PABCDO第4页共9页设曲线C的轨迹方程(,)0fxy．（1）求曲线C的方程(,)0fxy；（2）定义：若存在圆M使得曲线(,)0fxy上的每一点都落在圆M外或圆M上，则称圆M为曲线(,)0fxy的收敛圆．判断曲线(,)0fxy是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由．30．对于正项数列{}na，若1nnaqa对一切*nN恒成立，则11nnaaq对*nN也恒成立是真命题．（1）若11a，0na，且113(,1)3nnaccca，求证：数列{}na前n项和1(3)13nncSc；（2）若14x，*123(2,)nnxxnnN，求证：11223()3()33nnnx．31．设()fx是定义在D上的函数，若对任何实数(0,1)以及D中的任意两数1x、2x，恒有1212(1)()(1)()fxxfxfx，则称()fx为定义在D上的C函数．（1）证明函数21()fxx是定义域上的C函数；（2）判断函数21()(0)fxxx是否为定义域上的C函数，请说明理由；（3）若()fx是定义域为R的函数，且最小正周期为T，试证明()fx不是R上的C函数．第5页共9页2015年1月奉贤区高三数学调研测试参考解答一、填空题（每题3分）1．,31,2．803．4m4．85．26．07．318．1,1,arcsinxxy9．210．111．3212．221二、单项选择题（每题3分）13．D14．B15．D16．A17．C18．B19．A20．C21．B22．C23．A24．D三、解答题（7+7+8+13+13+14+16=78分）25．011xx，1分所以函数()fx的定义域是(1,1)，2分定义域关于原点对称，3分1()()lg1()xfxx4分1111lglglg()111xxxfxxxx，5分而11()lg23f，1()lg32f，11()()22ff，6分所以()fx是奇函数不是偶函数。7分26．ABCD为正方形，O为AC、BD的中点，又,,,PAPCPBPDPOACPOBD，2分因为AC与BD交于一点O，PO平面ABCD，4分PAO为直线PA与平面ABCD所成的角，5分在RtPAOPAPO中，45PAO，6分所以直线PA与平面ABCD所成的角为45．7分第6页共9页27．解：23cossincos32xxxxf3(cos21)13sin2222xx2分sin(2)33x，4分22T5分因为46x，所以65320x，6分当232x时，即12x时，)(xf的最大值为13，7分当032x时，即6x时，)(xf的最小值为3．8分28．（1）设na、nb分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量，依题意知，数列{}na是首项为128、公比为3150%2的等比数列；1分数列{}nb是首项为400、公差为a的等差数列，2分所以数列{}na的前n和3128[1()]32256[()1]3212nnnS，4分数列{}nb的前n项和(1)4002nnnTna，6分所以经过n年，该市更换的公交车总数3(1)256[()1]40022nnnnnnFSTna；7分（2）因为3256[()1]2n、(1)400(0)2nnnaa是关于n的单调递增函数，9分因此nF是关于n的单调递增函数，10分所以满足a的最小值应该是710000F，11分即7376256[()1]40071000022a，解得308221a，12分又*aN，所以a的最小值为147．13分第7页共9页29．（1）设动点为(,)xy，则由条件可知轨迹方程是211xyk；3分（2）设P为曲线C上任意一点，可以证明则点P关于直线1x、点(1,1)及直线1y对称的点仍在曲线C上6分根据曲线C的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆，则该收敛圆的方程是222(1)(1)(0)xyrr7分讨论：1,1xy时2222(1)(1)(1)(1)(1)(2)xykxyr最多一个有一个交点r满足条件8分（1）代入（2）得42222(1)2(1)krxkx10分曲线(,)0fxy存在收敛圆11分收敛圆的方程是222(1)(1)(02)xyrrk13分30．（1）1113,3nnnncaacaa，2分12233,9,3nnacacac，4分12121393nnnSaaaccc，6分1313nncSc；7分(2)332323323323323323111111nnnnnnnxxxxxxx，10分12333nnxx，11分113233nnxx，12分1323nnx13分11323323nnnx。14分第8页共9页31．（1）证明如下：对任意实数12,xx及0,1，有121211fxxfxfx222121211xxxx2分2212121121xxxx21210xx，4分即121211fxxfxfx，5分∴21fxx是C函数；6分（2）210fxxx不是C函数，7分说明如下(举反例)：取13x，21x，12，则121211fxxfxfx11111231022262fff，即121211fxxfxfx，∴210fxxx不是C函数；10分（3）假设fx是R上的C函数，11分若存在mn且,0,mnT，使得fmfn。（i）若fmfn，记1xm，2xmT