2015年1月上海市长宁区高三数学(文科)一模试卷及参考答案

第1页共9页开始结束是否A＜35A←1A←2A+1打印2015年1月上海市长宁区高三数学（文科）一模试卷考生注意：本试卷共有23道试题，满分150分．考试时间120分钟．解答必须写在答题纸上的规定区域，写在试卷或草稿纸上的答案一律不予评分．一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸的相应编号的空格内填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是___________________.[来源:学科网]2．若集合2{|||2},{|30}MxxNxxx，则M∩N_______________.3．复数221ii=______________.（i是虚数单位）4．已知数列na的前n项和542nnS，则其通项公式为5.已知214732lim6752nannn，则a6.已知3,2,1,1,2,3,ba且ba，则复数biaz对应点在第二象限的概率为._______（用最简分数表示）7．已知函数()1logafxx，1()yfx是函数()yfx的反函数，若1()yfx的图象过点(2,4)，则a的值为._________8．如图，圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是.9．根据右面的框图，打印的最后一个数据是.10．已知数列{}na是以2为公差的等差数列，nS是其前n项和，若7S是数列nS中的唯一最大项，则数列{}na的首项1a的取值范围是.11．五位同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取一封，则恰好有两人抽取到的贺卡是其本人制作的概率是.第2页共9页12.已知△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且2226tan5bcaacB，则sinB的值是。13.如图，在ABC△中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM，ACnAN，则mn的值为．14.已知52315xx的展开式中的常数项为T，()fx是以T为周期的偶函数，且当[0,1]x时，()fxx，若在区间[1,3]内，函数()()gxfxkxk有4个零点，则实数k的取值范围是．二．选择题(本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内),一律得零分．15．设z1、z2∈C,则“z21+z22=0”是“z1=z2=0”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件16.若正数a,b,c成公差不为零的等差数列，则（）（A）lga，lgb，lgc成等差数列（B）lga，lgb，lgc成等比数列（C）2,2,2abc成等差数列（D）2,2,2abc成等比数列17．函数,01,10xbyaab的图象为（）[来源:学科网]（A）（B）（C）（D）18.O是△ABC所在平面内的一点，且满足()(2)0OBOCOBOCOA，则△ABC的形状一定是（）（A）正三角形（B）直角三角形（C）等腰三角形（D）斜三角形BAONCM第3页共9页三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的相应编号规定区域内写出必须的步骤．19．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：三棱锥ABCP中，PA底面ABC，若底面ABC是边长为2的正三角形，且PB与底面ABC所成的角为3．若M是BC的中点，求：（1）三棱锥ABCP的体积；（2）异面直线PM与AC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．20．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）已知8,tancot23（1）求tan的值；（2）求sin22的值。[来源:Z_xx_k.Com]21．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分）已知数列{an}为等差数列，公差d≠0,an≠0,(n∈N*),且akx2+2ak+1x+ak+2=0(k∈N*)(1)求证：当k取不同自然数时，此方程有公共根；(2)若方程不同的根依次为x1,x2,…,xn,…,求证：数列11,,11,1121nxxx为等差数列.MABCP第4页共9页22.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数1()|21|xfx，()Rx.（1）证明：函数()fx在区间(1,)上为增函数，并指出函数()fx在区间,1上的单调性.（2）若函数()fx的图像与直线yt有两个不同的交点(,)Amt，(,)Bnt，其中mn，求mn关于t的函数关系式.（3）求mn的取值范围.23.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于给定数列{}nc，如果存在实常数,pq使得1nncpcq对于任意*nN都成立，我们称数列{}nc是“线性数列”．（1）若nan2，32nnb，*nN，数列{}na、{}nb是否为“线性数列”？若是，指出它对应的实常数,pq，若不是，请说明理由；（2）证明：若数列{}na是“线性数列”，则数列}{1nnaa也是“线性数列”；（3）若数列{}na满足12a，)(23*1Nntaannn，t为常数．求数列{}na前n项的和．第5页共9页第6页共9页2015年1月上海市长宁区高三数学（文科）一模试卷参考答案一、填空题1、22、]2,0[3、i24、Nnnnann,2,21,325、286、1037、48、0609、6310、)14,12(11、6112、5313、214、]41,0(二、选择题题号15161718答案BDCC三、解答题19、[解]（1）因为PA底面ABC，PB与底面ABC所成的角为3所以3PBA………2分因为2AB，所以32PB…………4分2324433131PASVABCABCP………………6分（2）连接PM，取AB的中点，记为N，连接MN，则ACMN//所以PMN为异面直线PM与AC所成的角………………7分计算可得：13PN，1MN，15PM………………9分101515213151cosPMN………………11分异面直线PM与AC所成的角为1015arccos………………12分20、【解】（1）由条件得到03tan8tan32，………………2分解得31tan或者3tan………………4分[来源:学科网]2，.3tan………………6分（2）54tan1tan12cos)22sin(22………………2分+2分+2分=6分21、证明：(1）∵{an}是等差数列，∴2ak+1=ak+ak+2,故方程akx2+2ak+1x+ak+2=0可变为(akx+ak+2)(x+1)=0,………………2分∴当k取不同自然数时，原方程有一个公共根－1.………………4分(2）原方程不同的根为xk=kkkkkadadaaa2122………………7分第7页共9页.21}11{)(2122)2(21111,211111为公差的等差数列是以常数kkkkkkkkkxdddaadadaxxdax………………12分………………14分22、【解答】（1）证明：任取1(1,)x，2(1,)x，且12xx，1212111112()()2121(21)21xxxxfxfx121(22)2xx，………………2分12121212,22,220,()()xxxxxxfxfx.所以()fx在区间(1,)上为增函数.函数()fx在区间,1上为减函数.………………4分（2）解：因为函数()fx在区间(1,)上为增函数，相应的函数值为(0,)，在区间,1上为减函数，相应的函数值为(0,1)，由题意函数()fx的图像与直线yt有两个不同的交点，故有(0,1)t，………………6分易知(,)Amt，(,)Bnt分别位于直线1x的两侧，由mn，得1mn，故1210m，1210n，又A，B两点的坐标满足方程121xt，故得112mt，121nt，………………8分即2log(22)mt，2log(22)nt，………………9分故22log(22)log(22)mntt.………………10分(3)当210t时，3log1,102nm，，故3log02mn，………………12分又22222211log(44)log41444mnmnt≤，因此10mn；…………14分当112t时，0m，20log32n，从而0mn；……………16分综上所述，mn的取值范围为(,1).………………18分第8页共9页23、【解】（1）因为2,nan则有12,nnaa*nN故数列{}na是“．线性．．数列．．”．，对应的实常数分别为1,2．……………………………2分因为32nnb，则有12nnbb*nN故数列{}nb是“．线性．．数列．．”．，对应的实常数分别为2,0．……………………………4分（2）证明：若数列{}na是“M类数列”，则存在实常数,pq，使得1nnapaq对于任意*nN都成立，且有21nnapaq对于任意*nN都成立，…………………………………………7分因此1212nnnnaapaaq对于任意*nN都成立，故数列1nnaa也是“．线性．．数列．．”．…………………………………………9分对应的实常数分别为,2pq．……………………………………………………………10分（3）因为*132()nnnaatnN则当n为偶数时，)()()(14321nnnaaaaaaS12232323nttt.2241)41(23)222(31212ttttnnn………………13分当n为奇数时，)()()(154321nnnaaaaaaaS[来源:学科网ZXXK]1422323232nttt)222(32142nt.24241)41(432121tttnn………………16分故数列{}na前n项的和第9页共9页为奇数为偶数nttnttSnnn,242,2211………………18分