2013年全国中考数学压轴题解析汇编及答案(京津沪渝地区)

【2013·北京·24题】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值。解：（1）∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∠BAC=α∴∠ABC=90°-12α∵∠ABC=∠ABD+∠DBC，且∠DBC=60°∴∠ABD=30°-12α（2）△ABE是等边三角形。证明如下：连接AD、CD、ED。∵BC=BD，∠DBC=60°∴△BCD是等边三角形∴BD=CD∵AB=AC，AD=AD∴△ABD≌△ACD∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12α∠ACD=∠ABD=30°-12α∵∠ABE=∠DBC=60°∴∠DBE+∠ABD=∠DBE+∠CBE∴∠CBE=∠ABD=30°-12α∵∠BCE=150°∴∠BEC=180°-∠BCE-∠CBE=12α∴∠BEC=∠BAD=12α∵BC=BD∴△ABD≌△EBC（AAS）∴AB=EB∴△ABE是等腰三角形∵∠ABE=60°∴△ABE是等边三角形（3）∵∠BCE=150°，∠BCD=60°∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°∵∠DEC=45°∴△DCE是等腰直角三角形∴CE=CD∵BC=CD∴BC=CE∴∠CBE=∠BEC∵由(2)知，∠CBE=30°-12α，∠BEC=12α∴30°-12α=12α∴α=30°BACDBACDE图1图2【2013·北京·25题】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点。已知点D（12，12），E（0，-2），F（23，0）（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。解：（1）①点D、E是⊙O的关联点②在①的计算中发现，对于点D，在⊙O上有无数对满足条件的点A、B；而对于点E，在⊙O上有且只有一对点A、B满足条件。由此可知，当直线l上的点P位于以点O为圆心，半径长为2的圆内或圆上（令该圆为⊙O’）时，点P是⊙O的关联点∵∠GFO=30°∴tan∠GFO=OG3=OF3∵OF=23∴OG=2，∴点G的坐标为（0，2），且点G在⊙O’上设直线l的解析式为y=kx+b，则2230bkb解得k=-33，b=2∴直线l的解析式为y=-33x+2∴点P坐标为（m，-33m+2）设直线l于⊙O’的另一个交点为H，过点H作HK⊥x轴于K，连接OH，则HK=-33m+2，OK=m∵HK2+OK2=OH2∴(-33m+2)2+m2=4，即43m2-433m=0解得m=0(此为点G)或3∴点H坐标为（3，1）∵当P在线段GH上时，点P是⊙O的关联点∴m的取值范围为0≤m≤3（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，要使该圆的半径最小，则该圆的圆心应在线段EF的中点M处。可知，当E、F都刚好是⊙M的关联点时，线段EF上的其它点也一定是⊙M的关联点，且此时⊙M的半径也最小。过点F作⊙M的切线，切点为N，连接MN。则∠MNF=30°∵OE=2，OF=23∴EF=22OE+OF=4+12=4∴MN=12FM=14EF=1此时，r=1∴这个圆的半径r的取值范围为r≥1EFGxyOHlKEFxyOMN【2013·上海·24题】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx(a＞0)经过点A和x轴正半轴上的点B，AO=OB=2，∠AOB=120°。（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．解：（1）过点A作AH⊥x轴于H。∵∠AOB=120°∴∠AOH=60°∵AO=2∴OH=AO·cos∠AOH=2×12=1AH=AO·sin∠AOH=2×32=3∴点A坐标为（-1，3）∵OB=2∴点B坐标为（2，0）将点A、B坐标代入抛物线解析式得：3420abab解得a=33，b=-233∴抛物线的表达式为y=33x2-233x（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点N，则N（1，0）∵当x=1时，y=33-233=-33∴顶点M坐标为（1，-33）∴ON=1，MN=33∴tan∠MON=33MNON∴∠MON=30°∴∠AOM=∠AOB+∠MON=150°（3）∵OA=OB，∠AOB=120°∴∠ABO=30°∴当点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似时，点C在点B的右侧，且∠ABC=150°∵∠ABC=∠AOM=150°∴当△ABC∽△AOM时，存在如下两种情况：①当ABBCAOOM，即BC=ABOMAO时∵AB=223923AHBHOM=22123133ONMNOA=2∴BC=1232323=2∴OC=OB+BC=2∴点C坐标为（4，0）②当ABBCOMAO，即BC=ABAOOM时则BC=323223=6∴OC=OB+BC=8∴点C坐标为（8，0）故，当△ABC∽△AOM时，点C坐标为（4，0）或（8，0）AOBMHCCxyN【2013·上海·25题】在矩形ABCD中，点P是边AD上的动点，连接BP，线段BP的垂直平分线交边BC于点Q，垂足为点M。已知AD=13，AB=5，设AP=x，BQ=y。（1）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以AP长为半径的⊙P和以QC长为半径的⊙Q外切时，求x的值；（3）点E在边CD上，过点E作直线QP的垂线，垂足为F，如果EF=EC=4，求x的值。解：（1）∵AD∥BC∴∠APB=∠MBQ∵QM⊥BP∴∠A=∠BMQ=90°∴△ABP∽△MQB∴BQMB=PBAP∵M是PB的中点∴MB=12PB∴BQ=2PB2AP∵AB=5，AP=x∴PB2=AP2+AB2=x2+25∴y=2252xx∵Q在BC边上∴2252xx≤13，即x2-26x+25≤0∴1≤x≤25∵P在AD边上∴0≤x≤13∴1≤x≤13∴y关于x的函数解析式为y=2252xx(1≤x≤13)（2）当⊙P与⊙Q外切时，AP+QC=PQ∵BQ=PQ=y∴QC=13-y∴x+13-y=y，即2y=x+13∴225xx=x+13解得x=2513经检验，x=2513是分式方程的根故，当⊙P与⊙Q外切时，x=2513（3）连接PE、QE。∵EF⊥PQ∴∠EFQ=∠C=90°∵EF=EC=4，EQ=EQ∴Rt△EFQ≌Rt△ECQ∴FQ=QC=13-y∴PF=PQ-FQ=BQ-FQ=y-13+y=2y-13∴PE2=PF2+EF2=(2y-13)2+16∵DE=CD-EC=1，PD=AD-AP=13-x∴PE2=PD2+DE2=(13-x)2+1∴(2y-13)2+16=(13-x)2+1∴(225xx-13)2+16=(13-x)2+1整理得13x2-130x+125=0解得x=65102613或65102613AMQPCBDEF【2013·天津·25题】在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠OBA（1）如图①，求点E的坐标；（2）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A’E’O’，连接A’B、BE’。①设AA’=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A’B2+BE’2，并求出使A’B2+BE’2取得最小值时点E’的坐标；②当A’B+BE’取得最小值时，求点E’的坐标(直接写出结果即可)。解：（1）∵∠OAE=∠OBA，∠AOE=∠AOB=90°∴△AOE∽△BOA∴OEOAOAOB∵点A（-2，0），点B（0，4）∴OA=2，OB=4∴OE=2414OAOB∴点E的坐标为（0，1）（2）①连接EE’。∵AO=2，AA’=m∴OA’=AO-AA’=2-m∵OB=4∴A’B2=OA’2+OB2=(2-m)2+16=m2-4m+20由题意可知，四边形AA’E’E是平行四边形∴AA’=EE’=m∵BE=OB-OE=4-1=3∴BE’2=EE’2+BE2=m2+9∴A’B2+BE’2=m2-4m+20+m2+9=2m2-4m+29（0＜m＜2）∵A’B2+BE’2=2(m-1)2+27∴当m=1时，A’B2+BE’2有最小值，最小值为27∴点E’的坐标为（1，1）②作点E’关于直线y=4的对称点D，连接BD，直线y=4与DE’交于点C。∴A’B+BE’=A’B+BD根据“两点之间线段最短”可知，当点A’、B、D在同一直线上时，A’B+BE’就取得最小值。∵BC∥x轴∴△BCD∽△A’O’D∴'''BCDCAODO∵BC=EE’=m，DC=CE’=BE=3A’O’=A’O+OO’=A’O+EE’=2-m+m=2DO’=DC+CE’+E’O’=3+3+1=7∴327m，得m=67∴点E’的坐标为（67，1）ABOExyA’E’O’ABOExyCD图①图②【2013·天津·26题】已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M。若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：x…-103…y1=ax2+bx+c…0940…（1）求y1与x之间的函数关系式；（2）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l’，A为直线l’上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）。①求y2与x之间的函数关系式②当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围。解：（1）由表知，抛物线过点（-1，0）和（3，0）设抛物线解析式为y1=a(x+1)(x-3)∵抛物线过点（0，94）∴94=-3a，得a=-34∴y1与x之间的函数关系式为y1=-34x2+32x+94（2）由y1=-34x2+32x+94得，y1=-34(x-1)2+3∴对称轴直线l为x=1，顶点M坐标为（1，3）①由题意知，AM、BP互相垂直平分∴四边形ABMP是菱形∴PA∥l，即PA⊥x轴∴PA=PM=|y2-t|过点P作PQ⊥l于Q，则PQ=|x-1|，QM=|y2-3|∵PM2=PQ2+QM2∴(y2-t)2=(x-1)2+(y2-3)2化简得：(6-2t)y2=x2-2x+10-t2由题知，当t=3时，点C、M重合，BP与l平行，不满足题意，故t≠3∴y2与x之间的函数关系式为：y2=162tx2-13tx+21062tt(t≠3)②当6-2t＞0，即t＜3时，抛物线y2开口向上由y2=162t(x-1)2+32t知，其顶点M’的坐标为（1，32t）∵3＞32t∴M’在点M的下方∴结合图像可知，不满足y1＜y2恒成立当6-2t＜0，即t＞3时，抛物线y2开口向下则y1-y2=-34(x-1)2+3-162t(x-1)2-32t=3114(3)tt(x-1)2+32t若3t-11=0，即t=113，y1-y2=13＜0，y1＜y2成立若3t-11≠0，要使y1＜y2恒成立，则对于任一x应有y=3114(3)tt(x-1)2+32t＜0恒成立∵32t＜0∴3114(3)tt＜0∵3-t＜0∴3t-11＞0，即t＞113故，t的取值范围为t≥113AMTOBPyxll’QC【2013·重庆·25题】如图，对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（-3，0）。（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点。①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的