2013年全国初中数学联合竞赛试题及答案

2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分）1.计算432241242（B）（A）21（B）1（C）2（D）22.满足等式2221mmm的所有实数m的和为（A）（A）3（B）4（C）5（D）63.已知AB是圆O的直径，C为圆O上一点，15CAB，ABC的平分线交圆O于点D，若3CD，则AB=（A）（A）2（B）6（C）22（D）34.不定方程23725170xxyxy的全部正整数角（x,y）的组数为（B）（A）1（B）2（C）3（D）45矩形ABCD的边长AD=3，AB=2，E为AB的中点，F在线段BC上，且BF：FC=1：2，AF分别与DE，DB交于点M，N，则MN=（C）（A）357（B）5514（C）9528（D）115286.设n为正整数，若不超过n的正整数中质数的个数等于合个数，则称n为“好数”，那么，所有“好数”之和为（B）（A）33（B）34（C）2013（D）2014二、填空题（本题满分28分，每小题7分）1.已知实数,,xyz满足4,129,xyzxyy则23xyz42.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3(2)nn个相同的小正方体，若只有一面是红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n=83.在ABC中，60,75,10ACAB，D，E，F分别在AB，BC，CA上，则DEF的周长最小值为564.如果实数,,xyz满足2228xyzxyyzzx，用A表示,,xyyzzx的最大值，则A的最大值为463第二试（A）一、（本题满分20分）已知实数,,,abcd满足2222223236,acbdadbc求2222abcd的值。解：设2222,mabncd，则222223223312.mnabcd因为2223232424mnmnmnmn，即21224mn，所以6mn………………○1又因为222222222222mnabcdacbdadbc………………○2由○1，○2可得6.mn即22226abcd注：符合条件的实数,,,abcd存在且不唯一，6232,1,,33abcd就是一组。二、（本题满分25分）已知点C在以AB为直径的圆O上，过点B、C作圆O的切线，交于点P，连AC，若92OPAC，求PBAC的值。解：连OC，因为PC，PB为圆O的切线，所以∠POC=∠POB。又因为OA=OC，所以∠OCA=∠OAC。又因为∠COB=∠OCA+∠OAC，所以2∠POB=2∠OAC，所以∠POB=∠OAC，所以OP∥AC。又∠POB=∠OAC，所以BACPOB，所以ACABOBOP。又92OPAC，AB=2r，OB=r（r为圆O的半径），代入可求得OP=3r,AC=23r.在RtPOB中，由勾股定理可求得2222PBOPOBr。所以223223PBrACr。三、（本题满分25分）已知t是一元二次方程210xx的一个根，若正整数,,abm使得等式31atmbtmm成立，求ab的值。解：因为t是一元二次方程210xx的一个根，显然t是无理数，且21tt。等式31atmbtmm即2231abtmabtmm，即2131abtmabtmm，即2310.mababtabmm因为,,abm是正整数，t是无理数，所以20,310,mabababmm于是可得231,31.abmabmm因此，,ab是关于x的一元二次方程2231310xmxmm的两个整数根，该方程的判别式2231431313150.mmmmm又因为,ab是正整数，所以310abm，从而可得310.5m又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有6m符合要求。把6m代入可得231150.abmm第二试（B）一、（本题满分20分）已知21t，若正整数,,abm使得等式17atmbtmm成立，求ab的值。解：因为21t，所以2322.t等式17atmbtmm即2217,abtmabtmm即23222117abmabmm，整理得2223170mabababmabmm于是可得2217,17.abmabmm因此，,ab是关于x的一元二次方程222(17)170xmxmm……○1的两个整数根，方程○1的判别式224174174171720.mmmmm又因为,,abm是正整数，所以2170abm，从而可得1702m又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有8m符合要求，把8m代入得21772abmm。二、（本题满分25分）在ABC中，ABAC，O、I分别是ABC的外心和内心，且满足AB-AC=2OI。求证：（1）OI∥BC；（2）2AOCAOBAOISSS。证明（1）作OM⊥BC于M，IN⊥BC于N。设BC=a，AC=b，AB=c。易求得CM=12a，CN=12abc，所以MN=CM-CN=12cb=OI，又MN恰好是两条平行线OM，IN之间的垂线段，所以OI也是两条平行线OM，IN之间的垂线段，所以OI∥MN，所以OI∥BC。（2）由（1）知OMNI是矩形，连接BI，CI，设OM=IN=r（即为ABC的内切圆半径），则11112222221122.22AOCAOBAOICOIAICAIBAOIBOIAOIBOICOIAICAIBAOIAOIAOISSSSSSSSSSSSSSOIrOIrACrABrSrOIbcS三、（本题满分25分）若正数,,abc满足2222222222223222bcacababcbccaab，求代数式222222222222bcacababcbccaab的值。解：由于,,abc具有轮换对称性，不妨设0.abc（1）若cab，则0,0cabcba，从而得：2222211,22cbabcabcbc2222211,22cabcabcaca2222211,22abcabaabab所以2222222222223222bcacababcbccaab，与已知条件矛盾。（2）若cab，则0,0cabcba，从而可得：22222011,22cbabcabcbc22222011,22cabcabcaca22222011,22abcabcabab2222211,22abcabaabab所以2222222222223222bcacababcbccaab，与已知条件矛盾。综合（1）（2）可知：一定有.cab于是可得2222222221,1,1222bcacababcbccaab所以2222222221.222bcacababcbccaab