2013年全国各地中考数学试卷分类汇编锐角三角函数与特殊角

锐角三角函数与特殊角一．选择题1．（2013兰州，9，3分）△ABC中，a、b、c分别是∠A．∠B、∠C的对边，如果a2+b2=c2，那么下列结论正确的是（）A．csinA=aB．bcosB=cC．atanA=bD．ctanB=b考点：勾股定理的逆定理；锐角三角函数的定义．分析：由于a2+b2=c2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，且∠C=90°，再根据锐角三角函数的定义即可得到正确选项．解答：解：∵a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．A．sinA=，则csinA=a．故本选项正确；B．cosB=，则cosBc=a．故本选项错误；C．tanA=，则=b．故本选项错误；D．tanB=，则atanB=b．故本选项错误．故选A．点评：本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理的逆定理．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．2．（2013湖北孝感，8，3分）式子的值是（）A．B．0C．D．2考点：特殊角的三角函数值．分析：将特殊角的三角函数值代入后，化简即可得出答案．解答：解：原式=2×﹣1﹣（﹣1）=﹣1﹣+1=0．故选B．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．3.[2013湖南邵阳，9，3分]在△ABC中，若sinA-12+(cosB-12)2=0，则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°知识考点：特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质.审题要津：根据两个非负数相加和为0，这两个非负数的值都为0可分别求出∠A、∠B的角度数，从而求出∠C的度数.满分解答：解：由题意知sinA-12=0，cosB-12=0，解得sinA=12，cosB=12.所以∠A=45°，∠B=45°.故∠C=180°-∠A-∠B=180°-45°-45°=90°.故选C.名师点评：本题是常见的计算型试题，考查考生的综合运算能力，熟练掌握特殊角的三角函数值，绝对值，非负数的性质是解题的关键.4．（2013•东营，5，3分）将等腰直角三角形AOB按如图所示放置，然后绕点O逆时针旋转90至AOB的位置，点B的横坐标为2，则点A的坐标为（）A．(1，1)B．(2,2)C．(－1，1)D．(2,2)答案：C解析：在RtAOB中，2OB，45AOB，OAAOBOB，所以2cos222OAOBAOB，所以2OA，过A作ACy轴于点C，在RtAOC，45AOC，2OA，sinACAOCAO，2sin212ACAOAOC，又因为⊙O1AC，且点A在第二象限，所以点A的坐标为（－1，1）．5.（2013杭州3分）在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（）A．B．C．D．【解析】根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S△ABC=AC•BC=AB•CD，∴CD==【方法指导】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键6.（2013•衢州3分）如图，小敏同学想测量一棵大树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高（AB）为1.6m，则这棵树的高度为（）（结果精确到0.1m，≈1.73）．A．3.5mB．3.6mC．4.3mD．5.1m【答案】D．【解析】设CD=x，在Rt△ACD中，CD=x，∠CAD=30°，则AD=x，在Rt△CED中，CD=x，∠CED=60°，则ED=x，由题意得，AD﹣ED=x﹣x=4，解得：x=2，则这棵树的高度=2+1.6≈5.1m．【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度．7.（2013四川乐山，6，3分）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数2yx上，第二象限的点B在反比例函数kyx上，且OA⊥OB，3cosA=3，则k的值为【】A．－3B．－6C．－4D．238．（2013重庆市，6，4分）计算6tan45°－2cos60°的结果是（）A．43B．4C．53D．5【答案】D．【解析】6tan45°－2cos60°＝6×1－2×12＝5．【方法指导】本题考查特殊锐角三角函数值．熟练记忆特殊锐角三角函数值，并掌握实数运算法则是准确求解的前提．9.(2013湖南邵阳,9,3分)在△ABC中，若0)21(cos21sin2BA,则∠C的度数是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】：D．【解析】：∵0)21(cos21sin2BA，∴21cos;21sinBA;∴∠A=30°，∠B=60°，则∠C=180°﹣30°﹣60°=90°．故选D．【方法指导】：本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理，属于基础题，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容．根据绝对值及完全平方的非负性，可求出Asin、Bcos的值，继而得出∠A、∠B的度数，利用三角形的内角和定理，可求出∠C的度数．10．（2013重庆，9，4分）如图，在△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，CD⊥AB，垂足为D，CD=1，则AB的长为（）A．2B．32C．133D．13【答案】D【解析】在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠A=45°，∴∠ACD=∠A=45°，∴AD=CD=1．在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠B=30°，∴BD=330tan1tanBCD，∴AB=AD+BD=31，故选D．【方法指导】本题考查了对锐角三角函数的识记，以及用三角函数的知识解直角三角形．求一般三角形边的长度，可以通过求作高，转化为直角三角形解答；在含有特殊角的直角三角形中，已知两个元素（至少有一条边），可以用三角函数的定义、勾股定理、直角三角形两内角互余的关系，求出所有未知的边或角；锐角三角函数，表示的是直角三角形中边、角之间的关系，三者之间可以相互转化：caAsin，则a＝c·sinA，c＝Aasin；cbAcos，则b＝c·cosA，c＝Abcos；baAtan，则a＝btanA；Aabtan．11．(2013湖北荆门，11，3分)如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，则sinC的值为()A．22B．222C．222D．24【答案】B【解析】如图2，过点B作BD⊥AC于D，∵OB＝1，∠AOB＝45°，∴BD＝OD＝22．∴AD＝1－22．在Rt△ABD中，AB＝22ADBD＝2222(1)()22＝22．∴sinC＝ABAC＝222．故选B．【方法指导】∵∠AOB＝2∠C，∴∠C＝22.5°．此题说明sin22.5°＝222．不难得出ADBC（第9题图）ABCO45°(第11题)ABCO45°图2Dcos22.5°＝222，tan22.5°＝2222＝2－1．12.（2013深圳，11，3分）已知二次函数2(1)yaxc的图像如图2所示，则一次函数yaxc的大致图像可能是（）【答案】A【解析】由二次函数图像知，抛物线开口向上，则0a，因抛物线的顶点(1,)c在第四象限，则0c；据此，一次函数yaxc中，因0a，则图像自左向右是“上升”的，先排除C、D。又0c，则一次函数的图像与y轴的正半轴相交，故B错误，A正确。【方法指导】考查一次函数数、二次函数的系数与图像间的关系，函数相关系数的几何意义，考查学生数形结合的能力和转化思想、观察判断能力，综合考查一次函数和二次函数的相关性质，虽说难度不是太大，但也具有一定的综合性，需要全面仔细的考虑，对相关知识熟练无误。二．填空题1．（2013贵州安顺，14，4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．图2xyOxyOxyOxyOxyOABCD2．（2013湖北孝感，15，3分）如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为12m（结果不作近似计算）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先过点D作DE⊥AB于点E，可得四边形BCDE是矩形，然后分别在Rt△ABC与Rt△ADE中，利用正切函数的知识，求得AB与AE的长，继而可求得答案．解答：解：过点D作DE⊥AB于点E，则四边形BCDE是矩形，根据题意得：∠ACB=β=60°，∠ADE=α=30°，BC=18m，∴DE=BC=18m，CD=BE，在Rt△ABC中，AB=BC•tan∠ACB=18×tan60°=18（m），在Rt△ADE中，AE=DE•tan∠ADE=18×tan30°=6（m），∴DE=BE=AB﹣AE=18﹣6=12（m）．故答案为：12．点评：本题考查俯角的知识．此题难度不大，注意能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013·鞍山，13，2分）△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cosA＝，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．分析：首先利用余弦函数的定义求得AC的长，然后利用勾股定理即可求得BC的长．解答：解：∵cosA＝，∴AC＝AB•cosA＝8×＝6，∴BC＝＝＝2．故答案是：2．点评：本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．4.2013杭州4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，现给出下列结论：①sinA=；②cosB=；③tanA=；④tanB=，其中正确的结论是（只需填上正确结论的序号【答案】．②③④【解析】如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，∴sinA==，故①错误；∴∠A=30°，∴∠B=60°，∴cosB=cos60°=，故②正确；∵∠A=30°，∴tanA=tan30°=，故③正确；∵∠B=60°，∴tanB=tan60°=，故④正确．【方法指导】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．5（2013四川内江，22，6分）在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，则sinA﹣sinB=±．考点：互余两角三角函数的关系．分析：根据互余两角的三角函数关系，将sinA+sinB平方，把sin2A+cos2A=1，sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值，代入即可求解．解答：解：（sinA+sinB）2=（）2，∵sinB=cosA，∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=，∴2sinAcosA=﹣1=，则（sinA﹣sinB）2=sin2A+cos2A﹣2sinAcosA=1﹣=，∴sinA﹣sinB=±．故答案为：±．点评：本题考查了互余两角的三角函数关系，属于基础题，掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键．6.（2013浙江台州，14，5分）如图，在⊙O中，过直径AB延长线上的点C作⊙O的一条切线，切点为D，若AC=7，AB=4，则sinC的值为．【答案】：52．【解析】连结OD，∵AB=4，则OA=OB=OC=2，OC=5，由于CD为⊙O的切线，则∠ODC=90°，∴sinC=25ODOC。【方法指导】本题考查切线的性质、三角函数的计算等知识点，其中连结半径OD是解决切线问题中的常用