机械振动学课件

硕士研究生学位课程机械振动学MechanicalVibrations机械工程及自动化学院2014年张以都工学博士教授博士生导师[e-mail]，82339039新主楼A座829房间课程参考书1.《机械振动学》程耀东编著浙江大学出版社2.《振动理论及应用》方同等编著西工大出版社3.《振动力学》刘延柱等编著高等教育出版社4.……5.TheoryofVibrationwithApplications5THEd.byW.T.Thomson,PrenticeHall,1998前言一、机械振动的定义：系统在其平衡位置附近作往复运动，该运动可用位移、速度、加速度等物理量随时间的变化来表示。构成系统振动的三要素：质量（惯性）、弹性（恢复性）、阻尼(耗散性)。形式多样二、机械振动学的研究意义：1.避免振动：（1）减振：自行车、汽车、加工颤振等的减振；（2）隔振：建筑基础、重要设备、机床的隔振。2.利用振动：（1）振动切削；（2）振动消除内应力；（3）振动破碎；（4）振动筛分；（5）振动压路……。刀具的颤振“机械振动学”是一门以物理概念为基础，以数学方法、数值计算技术和测试技术为工具，以解决工程中振动问题为主要目标的力学分支。三、机械振动学的学科性质：工程问题抽象为力学模型数学模型求解数学问题获得工程问题解振动问题的一般解决流程振动实验与测试1.已知载荷和结构参数，求结构的响应问题，即响应预估问题。2.已知载荷和结构响应，求结构参数或数学模型问题，即参数辨识或系统辨识问题。3.已知结构参数和响应求载荷问题，即载荷辨识问题。四、机械振动学主要研究的三类问题：（根据模型参数的已知情况进行分类）§1-1简谐振动的表示方法Simpleharmonicmotion(SHM)1.1三角函数表示法第一章机械振动的一般概念fT122f式中：x－某时刻的位移A－最大振幅ωn－角频率（圆频率）φ－相位周期T：当经过时间T后，运动重复前一时间间隔的运动过程。周期T与频率f的关系为：tAxnsin)2sin(costAtAxv)sin(sin22tAtAxa速度：加速度：tAxsin位移：ωpAω2aAωvyxA1.2矢量表示法设有模为A的矢量，其以均匀角速度ω逆时针转动。在x，y轴上的投影为：因此：tAytAxsincos若令矢量的模A为振动的振幅，则矢量在x，y轴上的投影均可表示简谐振动。为了与复数表示法一致，规定以水平投影表示简谐振动。yxAθz=a+ibz=Aeiωtωt虚轴实轴设有复数z=a+ib，其在复平面上为一个点z。旋转复矢量为：tiAetsiniAtcosAz)AeRe(zRetcosAxti)t(iti)t(itiAeAexAeAeix222用其在实轴上的投影表示简谐振动：1.3复数表示法§1-2简谐振动的合成2.1同方向、同频率振动的合成)tsin(Ax)tsin(Ax)tsin(Axkkk222111)tsin(Ax其中：knnnknnnknnnknnncosAsinAarctg)sinA()cosA(A112121051015202530-1.5-1-0.500.511.5α1=α2051015202530-1.5-1-0.500.511.5α1=α2+π/2051015202530-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81α1=α2+πα1=α2α1=α2+π/2α1=α2+π2.2同方向、不同频率振动的合成)tsin(Ax)tsin(Ax22221111)]t(tsin[)t(Ax11其中：)](t)cos[(AA)](t)sin[(A)]t([tg)](t)cos[(AAAA)t(A12122112122121221222122.3不同方向（垂直）、不同频率振动的合成)tsin(By)tsin(Ax2211)(sin)cos(ABxyByAx12212222结论：合成振动与两个的振动频率和相位有关，合成的图形称为“李萨如”图形。特例：当ω1=ω2时，上述方程是一椭圆方程。第二章单自由度系统的振动niiFxmma1)t(Fkxxcxm0kxxcxm0kxxm单自由度系统的振动模型运动微分方程的建立：由牛顿第二定律：离散振动系统的三要素：1.质量；2.弹簧；3.阻尼。kcmxF(t)kxxc)t(Fxm§2-1自由振动一、无阻尼自由振动[c=0,F(t)=0]02xxnmkn22020nvxAnvxarctg000kxxm令则设方程的解为：tAxnsintAe)t(xtAe)t(x2代入微分方程，得：则022tnAe)(022n和特征方程nn,jj21共轭虚根：二阶常系数线性齐次方程根据欧拉公式sincosiei因此方程的解为：其中：0kxxcxm0xmkxmcx022xxxn二、有阻尼自由振动[F(t)=0]（二阶常系数线性齐次微分方程）为计算方便，令mc2tAe)t(xtAe)t(x20222n设方程的解为：tAe)t(x代入微分方程，得特征方程：22n特征方程的解为：§2-2简谐激励作用下的受迫振动（强迫振动）)tsin(h)tsin(mFxxx)tsin(F)t(Fkxxcxmn0202设对应齐次方程的通解和特解分别为：)cos()sin()sincos(212211tBtBxtCtCexddt将x2代入微分方程，利用比较系数法，得)sin(2tBx222224nhB222narctg其中：二阶常系数线性非齐次微分方程一、简谐激励引起的受迫振动的响应简谐激励受迫振动微分方程的全解（系统全响应）：)sin()sincos(2121tBtCtCexxxddt根据初始条件确定常数C1和C2，令00)0(,)0(,0vxxxt)sin(sin)sin()cos(cos)sin()sincos(000tBttBetvxtxexdddtdddt二、受迫振动的振幅分析222224nhB2200nnsthmFkFnnststdB222241则受迫振动的振幅其中d为动力系数（放大系数）2222411stBd引入静变形、频率比和阻尼比:三、基础运动引起的受迫振动mkctaxssin模型简化)tsin(Ftsinkatcosackxxckxxcxmss0)xx(k)xx(cxmssniiFxmma1为了简化问题，设基础以xs=asinωt的规律运动。根据牛顿第二定律建立微分方程：mkctaxssin四、旋转不平衡质量运动引起的受迫振动kcMxmωt设总质量为M、弹簧刚度为k、阻尼系数为c、不平衡质量为m、偏心距为e、旋转角速度为ω。222mrrrmrvmFniiFxMMa1tsinFtsinemkxxcxM02kxxctsinemxM2其中：20emF方程的解与前述结果相同，其稳态响应为：)sin(tBx2222241kmeB式中：212arctg根据第二定律建立牛顿微分方程，kcMxmωt§2-3复数法求解简谐激励下系统的稳态响应及传递函数)cos()(0tAtx)(00Re)cos()(tjeFtFtF)(0Re)cos()(tjeAtAtxsincosjej其中复振幅jeAA0相应的力表达式和解的形式为：根据欧拉公式：设其解的形式为：对于振动微分方程：一、简谐激励和响应的复数表示)tcos(Fkxxcxm0二、复数的几条基本引理（1）若c为实数，A(t)为复函数，则有Re[cA(t)]=cRe[A(t)]（2）A(t)和B(t)是实变数t的复函数，则有Re[A(t)＋B(t)]=Re[A(t)]+Re[B(t)]（3）若A＝A0ejφ为一复数，则有tjtjtjAejAedtdAedtdRe)(ReRetjntjnntjnnAejAedtdAedtd)(Re)(ReRe（4）若A、B为复数，Re[Aejωt]＝Re[Bejωt]，则A＝B。三、求解过程及传递函数)(0Re)(tjeFtF)(Re)(tjeAtx)tcos(Fkxxcxm0)t(j)t(j)t(j)t(jeFReeARekeAjReceA)j(Rem02)t(j)t(jeFReeA)kjcm(Re0202FAjc)mk(jc)mk(FA200)(FHA∴复振幅：所以将代入)(0HFAje)(Hj)(k/jc)mk()(H211122定义传递函数22224)1(/1)(kH其中212)(arctg稳态响应：)cos(4)1()cos(4)1(/1)(Re)(ReRe)(222202222)(0)(0)(ttFkeFHeFHeAtxsttjtjtj＝§2-4机械阻抗法求解简谐激励下系统的稳态响应一、机械阻抗、机械导纳的定义1.定义一：机械阻抗Z——作用力与该力所引起的振动速度之比。设振动系统受外力F(t)=F0ejωt作用，响应为x(t)=x0ej(ωt-θ），故)2(0)(0tjtjexexjxv)(02)(02tjtjexexxa000)2(0)2(00,xFZeZexeFvFZjtjtj2.定义二：导纳B——阻抗的倒数)2(011jeZZBjvx3.定义三：动刚度KD——外力与位移之比。)2(0jDeZjZjjvFjvFxFK4.定义四：动柔度W0——动刚度的倒数。jDeFxFxKW0001rvFFFxkxm二、机械元件的机械阻抗1.阻尼器的阻抗ZrtjeFF0ceFcFv,cvFtj0设有外力与之平衡的阻尼力阻尼器阻抗cceFeFvFZtjtjc002.弹簧的阻抗Zk与外力平衡的弹簧力jkeFxvkeFkFxkxFtjtj00,,弹簧阻抗kjjkvFZk3.质量的阻抗Zm与外力平衡的惯性力质量阻抗mjeFdtmeFdtxvmeFmFxxmFtjtjtj000,,mjvFZm三、机械元件的位移阻抗作用力与该力所引起的位移之比。位移阻抗在求解系统运动规律问题时比较方便。1.阻尼器的位移阻抗