机械振动学习题解答(二)概要

《机械振动学》习题解答（二）2013-04-194－1如图所示，质量为m的油缸与刚度为k的弹簧相连，通过阻尼系数为c的黏性阻尼器以运动规律y=Asinωt的活塞给予激励，求油缸运动的振幅以及它相对于活塞的相位。解：设油缸位移为x，活塞位移为y，对油缸建立方程即方程的解为x的振幅而活塞的运动为所以x相对于y的相位差ycmkxmxcxykxcosmxcxkxcycAt2arctan2ckm222()()cAXkmccos()xXt2arctanckmsin()cos(/2)yAtAt相位4－2如图所示，质量可忽略的直角刚性杆可绕铰链O自由转动，弹簧一端有简谐位移扰动Acosωt。试导出系统的振动微分方程，并求系统的稳态响应。解：设刚性杆向顺时针方向转动θ角，则图中B点的位移和速度分别为对刚性杆用动量矩定理cmkAcosωt2sincoscosBBmLmgLcxkxAtamgaLθ222cosmLcakamgLakAt由化简得微分方程Bxsin,cos1Bsin,cosBBxaaxaa122tan1rr222cosmLcakamgLakAt222222cosakAtkamgLmLca22221cos(1)(2)akAtkamgLrr2222arctancakamgLmL微分方程稳态响应其中或其中2222/()//kagrkamgLmLmLL222()caLmkamgL4－3求弹簧-质量系统在库仑阻尼和简谐激励力F0sinωt作用下的振幅。在什么条件下运动能继续？解：库仑阻尼的等效阻尼系数振幅上式可化简为要使运动能继续，X不能为虚数，所以4eNcX02224FXNkmX2222204NkmXF220224/FNXkm2204/0FN04NF4－5带结构阻尼的单自由度系统，若刚度和阻尼的作用可用复数形式表示，系统的等效质量为m，求系统在简谐激励下的响应。解：系统的微分方程为设系统的稳态响应，代入上式得20ikke2200imXkeXFiXXe200iitmxkexFeitxXe2000cos2sin2kmikXF020sin2arctancos2kkm解得()ititxXeXe022200cos2sin2FXkmk所以其中4－7弹性支承的车辆沿高低不平的道路运行可用图示单自由度系统模拟。若每经过距离为L的路程，路面的高低按简谐规律变化一次，试求出车辆振幅与运行速度v之间的关系，并确定最不利的运行速度。解：将路面看成简谐激励，其周期，则角频率系统方程为2vL22sin2/kYvxtLkWvL/TLv稳态响应()0Wxkxy振幅22/kYXkWvL系统发生共振时为最不利的情况22nvkLkvLWW2sinvWxkxkYtL4－8图示系统中，集中质量m=20kg，弹簧刚度k=3.5kN/m，阻尼器的黏性阻尼系数为c=0.2kN·s/m，凸轮的转速为60r/min，行程为0.01m。试求系统的稳态响应。解：设凸轮的行程为a，则凸轮的位移可表示为，并由题意知：a=0.01m，周期τ=1s。将x0(t)展开为Fourier级数其中所以0000012()cossin,nnnxtaantbnt0()axtt0000122d,cosd0,222sindnnaaaattatnttaabtnttn0011()sin2naaxtntn00.511.5200.51奇函数的Fourier级数只有正弦项，偶函数只有余弦项。系统的微分方程为即于是稳态响应0()mxcxkxkxx0011112sin2nmxcxkxkxkantn022220400arctanarctan2700080ncnnkmnn0222210022221sin/21()22()sin23510.0025700080(400)nnnnntkakaxtknkmncnntnnn静载荷多个简谐激励02其中4－9一个弹簧-质量系统从倾斜角为30°的光滑斜面下滑。求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间。解：设弹簧接触挡板的时刻为t=0，此后质量块做无阻尼自由振动，以弹簧平衡位置为原点，其运动方程为t=0时的初速度初始位移（即弹簧自由长度与静平衡长度的差值）质量块的运动规律为求出运动规律后，要求弹簧从开始接触挡板到脱开挡板的时间，有两种办法。0mxkx00cossinnnnxxxtt02sin30xgSgS0sin302mgmgxkkmkS/nkm解法二：将此简谐运动写作式中由图可见，弹簧从接触挡板到脱离的时间为00cossincos()nnnnxxxttAt0004arctanarctannxkSxxmg222222242arctanntTmkSkmg解法一：设弹簧运行至最低点时t=τ，则弹簧脱离挡板的时刻应为t=2τ。令，可得弹簧从接触挡板到脱离的时间为。()0x00sincos0nnnxx14tanmkSkmg2tτ2τ0x05－5机器质量为453.4kg，安装时使支承弹簧产生的静变形为5.08mm，若机器的旋转失衡为0.2308kg·m，求：①在1200r/min时传给地面的力；②在同一速度下的动振幅。解：旋转失衡的微分方程为②振幅其中所以①传给地面的力2sinMxcxkxmet222222/1(1)(2)mekmerXMrrr312005.081022.861609.8nMrkg220.23080.58453.41rXmmr22233453.49.80.5810507.35.0810TMgXFXkckXN5－6如果题5-5的机器安装在质量为1136kg的大混凝土基础上，增加基础下面弹簧的刚度，使弹簧静变形为5.08mm，则动振幅将是多少？解：频率比振幅312005.081022.861609.8rg224220.23081.65100.165453.4113611merrXmmmMrr（与上题相同）（比上题小了）5－7质量为113kg的精密仪器通过橡皮衬垫装在基础上，基础受到频率为20Hz、幅值为15.24cm/s2的加速度激励，设橡皮衬垫有如下参数：k=2802N/cm，ζ=0.1，问：传给精密仪器的加速度是多少？解：微分方程位移传递率式中加速度传递率所以mxcxkxcyky22221(2)(1)(2)rXYrr21130.1,2202.524280210mrk22XXXYYY20.20815.243.18/XXYcmsY5－9机器重2500kN，弹簧刚度k=800kN/m，阻尼比ζ=0.1，干扰力频率与发动机转速相等。试问：①在多大转速下，传递给基础的力幅大于激振力幅；②传递力幅为激振力幅20%时的转速是多大？解：①力传递率于是故最大转速为②力传递率于是338001022.504rad/s250010/9.8krm22221(2)12(1)(2)TrFrFrr2.50460=23.9r/min220%2.57TFrF4.551rad/skrm转速4.5560=43.5r/min25－10一仪器要与发动机的频率从1600到2200r/min范围实现振动隔离，若要隔离85%，仪器安装在隔振装置上时，隔振装置的静变形应为多少？解：根据传递率与频率比的关系曲线，要在[r1,r2]的频率区间内使隔振达到85%，只要在r1时传递率Tr＜0.15即可。222221212122211(2)0.15(1)(2)13201203123/39.82.676m21600/60rnrTrrrrrmgggk5－11悬挂系统的固有频率为0.5Hz，箱子从0.5m高处落下，求所需的振荡空间。解：设x为质量m的绝对位移，y为箱子的绝对位移，z为质量m相对于箱子的位移，当箱子做自由落体运动时，微分方程：即此系统受到阶跃激励，其响应为（课本p.110）此运动一直持续到箱子落地的时刻，设此时刻为t1，则将t1代入z(t)的表达式，可得此时的位移和速度，分别记为12htg()()mxkxycxymzczkzmymg2()1(cossin)1ntddmgztettk11()()ztzt和箱子落地后，相对速度瞬间增加了gt1，而相对位移不变，即此后，质量m做有阻尼自由振动，初始条件即为其响应为（课本p.54,式(3-53)）求此响应的最大幅值即为箱子所需的振荡空间。111()()()()cossin)ntndddztztztezttt11()()ztzt和z++11111()=(),()=()ztztztztgt两大通用方法：1Duhamel积分2Laplace变换特殊函数激励的响应（无阻尼系统）：1单位脉冲响应2阶跃激励F(t)=F0的响应3斜坡激励F(t)=at的响应单自由度系统瞬态激励下的响应()01()()sin()nttddxtfetdm0()(1cos)nFxttk1()sinnnaxtttk(),()mxcxkxftft为任意函数2()()()[()]()mxcxkxftmscskXsLftFS12()(),()[()]FsXsxtLXsmscsk1()sinnnxttm解：tt0时，系统受到阶跃激励，其响应为tt0时，系统响应有两种解法。解法一：将激励看成两个阶跃函数的叠加，其响应分别为4－11如图所示，一弹簧-质量系统，从t=0开始作用一不变的F0力，作用时间为t0。求系统在tt0和tt0两种情况下的响应，并找出tt0时最大位移与t0/τ的关系。如果t0与系统自振周期τ相比很小，最大位移为多少？请与脉冲响应函数比较。00()(1cos),nFxttttk00120()(1cos),()1cos()nnFFxttxtttkk01200()cos()cos,nnFxtxxtttttk0tt()ft0F=+0t0t0F0F0F于是解法二：tt0时系统作自由振动，初始条件为0000()(1cos)nFxxttk000()2sinsin22nnFttxttk0000()sinnnFxxttk000000()cos()sin()cos()cosnnnnnxFxtxtttttttk于是为求tt0时的最大位移，上式可用和差化积公式改写为2n最大值当时，t0很小的阶跃响应与脉冲响应类似，但由于阶跃激励的瞬时值是有限值，而脉冲激励的瞬时值是无穷大，故二者