机械振动学习题解答(四)

《机械振动学》习题解答（四）2013-06-051微分方程杆的纵向振动轴的扭转振动弦的横向振动梁的横向振动连续系统振动问题的解题思路2222(,)uuAEAfxttx22222Luuctx受迫振动自由振动2LEc2222(,)ppIGITxttx22222Tctx2TGc2222(,)yyTfxttx22222yyctx2Tc2424(,)yyAEIfxttx242240yyctx2EIcA波动方程2边界条件杆——纵向位移轴——扭转角度弦——横向挠度梁——横向挠度连续系统振动问题的解题思路ufEAxu纵向力固定端0u自由端0fpTGIx扭矩固定端0自由端0TyfTxy横向力固定端0y自由端0fyxy转角固定端0,0y简支端22yMEIx弯矩剪力33yVEIx0,0yM自由端0,0MV3自由振动的解杆、轴、弦的波动方程（以杆为例）令，代入方程得解得所以梁的自由振动方程令，代入方程得解得或连续系统振动问题的解题思路22222Luuctx(,)()ituxtUxe220LUUccossinUCkxDkx/Lkc()1cossinnitnnnnnuCkxDkxeC、D和k由边界条件确定242240yyctx2EIcA(,)()ityxtYxe2(4)20YYc1234kxkxikxikxYCeCeCeCe/kc1234cossincoshsinhYDkxDkxDkxDkx()cossinnitnnnneAtBt也可写为（）(a)4强迫振动的解(1)直接法——当激励恰好作用在边界上时，把激励写到边界条件里，然后用类似于求解自由振动的方法（例如习题8-3）(2)模态法（以梁为例）——运动方程令其中Yn(x)为通过自由振动方程求解出的振型函数，它满足把(2)代入(1)，并利用(3)，得连续系统振动问题的解题思路2424(,)yyAEIfxttx1(,)()()nnnyxtYxt(4)4nnnYkY4222/,/()nkccEIA其中(1)(2)(3)411(,)nnnnnnnAYEIkYfxt(4)（即上页(a)式）对(4)两边同乘以Ym(x)，再沿长度积分，并利用振型函数的正交性得即其中按单自由度受迫振动的求解方法即可求出(5)式的解。连续系统振动问题的解题思路2()nnnnQtAb0()()0LnmYxYxdxnm200()(,),LLnnnQtYfxtdxbYdx(5)242000(,)LLLnnnnnnAYdxEIkYdxYfxtdx8－1求图示阶梯杆纵向振动的频率方程。解：微分方程振型函数代入边界条件：振型函数：22222211222222,LLuuuucctxtx2LEcu1u21111222112()cossin,0()cossin,UxCkxDkxxlUxCkxDkxlxll1(0)0U212()0Ull1121()()UlUl111221()()EAUlEAUl10C2212tan()DCkll112121sincossinDklCklDkl11122121coscossinADklADklCkl消去C1，D1，C2，D2，得频率方程1121121211tantan()tantan()tan/klkllklkllklAA1122tantanAklklA/Lkc8－2长度为L、惯性矩为Is的轴两端各带有惯性矩为I0的圆盘(单位厚度)，求轴和圆盘组成的扭振系统的频率方程，并在IsI0的情形下校验频率方程的正确性。解：微分方程令，得振型函数：边界条件：即注：圆盘的转动惯量2200(0)(0),()()ssGIQIQGIQLIQL22222Tctx2TGc(,)()itxtQxe()cossin,/TQxCkxDkxkc220022(0,)(0,)(,)(,),ssttLtLtGIIGIIxtxt0JI，是因为：4420002111,3222mIdrJmrIIr注：圆轴两端的扭矩方向必定相反振型函数代入边界条件，得：两式联立，得：00,(tan)(tan)sskICIDkICDkLIDCkL022202/tan/1sskIIkLkII所以频率方程：当IsI0时，(*)式左边(*)式左边所以此时系统近似为一个忽略轴的惯性的二自由度系统，其微分方程为220022tantanssIIkkkLkLII(*)tan/kLkLLG0222002/2//ssskIIIGkIII202/2stGILkIJ频率只能是正数，所以负号应舍去ktJJ11220ttttkkJkkJ220ttttkJkkkJ方程的解2120,2/tkJ8－3长度为L的轴一端固定，另一端自由，扭矩T0sinωt施加于自由端，求轴的稳态响应。设轴截面的抗扭刚度为GIp，密度为ρ。解：（直接法）微分方程令，得振型函数边界条件：即22222Tctx2TGc0(,)(0,)0,sinpLttGITtx(,)()sinxtQxt()cossin,/TQxCkxDkxkc0(0)0,()pQGIQLT振型函数代入边界条件，得：00,cospCGIDkkLT0cospTDGIkkL所以稳态响应0(,)sinsincospTxtkxtGIkkL注：此题也可用模态法，得到的结果将是模态叠加的形式。8－4初始状态静止，长度为l、两端固定、张力为T的弦中央受一阶跃力P作用，计算弦在P力作用下的振动位移响应。解：（模态法，首先进行自由振动分析）()cossinYxCkxDkx代入边界条件：解得所以振型函数（再进行受迫振动分析）(0)0,()0YYl/kT设振型函数()sin,//nnnnnYxDkxkTnl2222()()2yylTPutxtx0,sin0Ckl1(,)()()nnnyxtYxt微分方程(2)(1)令其中Yn(x)满足(3)2nnnYkY00()10tutt根据单自由度无阻尼系统受阶跃激励的响应公式（课本p110式(2)），(5)式的解为所以系统响应式中2()nnnnQtb将(3)式代入(2)式，两边乘以Ym(x)，再沿长度积分，利用振型函数的正交性，最终得21200sin(1cos2)/2llnnbkxdxkxdxl221()sin1cos2nnnPnttl0()()()sin()sin()sin222lnnnllnQtPutxkxdxPutkPut2111cos2(,)()()sinsin2nnnnnntPnnyxtYxtxll所以(4)式变为(5)(4)22sin()2nnnPnutl将Yn代入公式时没写系数Dn，因为即使写了最后也会约掉注：δ函数有以下性质000()()()lfxxxdxfx8－5当集中载荷P以速度v在长度为l的简支梁上移动时，计算梁振动的位移响应。设t=0时梁处在静止状态，且P位于梁左端。解：（模态法，首先进行自由振动分析）1234()cossincoshsinhYxCkxCkxCkxCkx式中代入边界条件：解得振型函数（再进行受迫振动分析）(0)0,(0)0,()0,()0YYYlYl42/()kAEI设振型函数()sin,/nnnnYxCkxknl2424()yyAEIPxvttx1(,)()()nnnyxtYxt微分方程(2)(1)令其中Yn(x)满足(3)(4)4nnnYkY根据单自由度无阻尼系统受简谐激励的总响应公式（课本p98式(4-32)）(5)式的解为式中2()nnnnQtAb将(3)式代入(2)式，两边乘以Ym(x)，再沿长度积分，利用振型函数的正交性，最终得21200sin(1cos2)/2llnnbkxdxkxdxl2221()sinsinnnnnPtttAl0()()sinsin()sin(/)lnnnQtPxvtkxdxPkvtPnvtl22121(,)sinsinsinnnnnPnyxtttxAll所以(4)式变为(5)(4)22sinnnnPnvtAll22,nnnvEInEIklAlA其中所以系统响应