动点和最值问题

动点和最值问题基本图形：一：两定一动型（“两个定点，一个动点”的条件下求最值。例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B,在直线l上有一动点）例1、1、以正方形为载体如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P，使PD+PE的值最小，则其最小值是2√32、以直角梯形为载体例2：如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为8√17/173、以圆为载体如图，AB、CD是半径为5的⊙O的弦，AB=8，CD=6，MN为直径，AB⊥MN于E,CD⊥MN于F,P为EF上的任意一点，则PA+PC的最小值为4、以直角坐标系为载体如图，一次函数y=kx+b的图像与x、y轴分别交于点A(2,0)，B(0,4).（1）求函数的解析式.（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别是C、D，P为OB上一动点，求PC+PD的最小值为y=-2x+4，此时P点的坐标为（0,1）5、以抛物线为载体已知y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=-1,与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中A（-3,0），C（0，-2），若在x=-1上存在点P，使得△PBC的周长最小，则P的坐标为（-1，-4/3）二、一定两动型（“一个定点”+“两个动点”）1、以三角形为载体如图，在阅角△ABC中，AB=4√2，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是2、以正方形、圆、角为载体正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上的一动点.连接BD，则PB+PE的最小值是√5如图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上的一动点，则PA+PC的最小值是2√3如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是10√2.三、两定两动型（两个定点+两个动点）.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB=50km,A、B到直线X的距离分别为10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图10（1）是方案一的示意图(AP与直线X垂直，垂足为P),P到A、B的距离之和S1=PA+PB；图10（2）是方案二的示意图(点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P),P到A、B的距离之和S2=PA+PB.(1).求S1、S2,并比较它们的大小.(2).请你说明S2=PA+PB的值为最小.(3).拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km,请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q,使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.解:⑴图10（1）中过B作BC⊥AP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,∴AC=30．1分在Rt△ABC中，AB=50AC=30∴BC=40∴BP=24022BCCPS1=102402分⑵图10（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，又BC=40∴BA'=4110504022由轴对称知：PA=PA'∴S2=BA'=41103分∴1S﹥2S4分(2)如图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA=MA'∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B∴S2=BA'为最小7分图11（1）PXBAPXBAQYB'A'（3）过A作关于X轴的对称点A',过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B',交X轴于点P,交Y轴于点Q,则P,Q即为所求８分过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G,A'B'=5505010022∴所求四边形的周长为5505010分