41波动

第十六章机械波§16-8多普勒效应§16-7驻波§16-6波的叠加原理波的干涉§16-5惠更斯原理及其应用§16-4波的能量能流密度§16-3平面简谐波的波函数§16-2机械波的传播速度§16-1机械波的产生和传播1.确切理解描述波动各量的物理意义，并能熟练地确定这些物理量2.深刻理解平面简谐波波函数的物理意义，并会建立波函数，运用它来讨论与分析波动现象3.熟练掌握波的干涉原理和干涉强弱的条件4.熟练掌握驻波形成条件和干涉强弱条件波动是振动状态的传播，波动是物质常见的一种运动形式机械波机械振动在弹性介质中的传播过程，如绳波、声波、水面波等电磁波变化电磁场在空间的传播过程，如无线电波、光波、X射线等机械波和电磁波在本质上并不相同，但它们都具有波动的共同特征和规律都具有一定的传播速度在波传播过程中都伴随有能量的传播都具有反射、折射、干涉和衍射等现象光波的折射水面波的折射能传播振动的弹性介质如空气、水、绳索等一.机械波产生的条件波源作机械振动的物体，如声带、乐器的弦等不同强度的声波波源声强/dB声强/dB§16-1机械波的产生和传播波动在弹性介质中传播时，介质中各点仅在平衡位置附近作振动，并不随波流动前进。t水面波传播方向水面质点轨迹水面波的振动形式比较复杂，水表面质点沿椭圆轨道运动介质具有弹性是机械波能在介质中传播的原因由于形变引起的弹性力，介质中一点的振动会引起邻近质点的振动，这振动又会带动更远的质点振动。振动就由近及远地向各个方向传播形成波动。二.横波和纵波横波质点振动方向和波的传播方向相互垂直波传播方向纵波质点振动方向和波的传播方向相同波传播方向手移动方向介质——弹簧手移动方向介质——绳横波的传播过程波传播方向t=0t=T/4t=T/2t=3T/4t=Tt质点振动方向传波介质时刻t各质点位置——波形曲线t=0t=T/4t=T/2t=3T/4t=Tt质点位置随时间的变化——振动曲线纵波的传播过程波传播方向传波介质1s传播距离=v动方向）相同质点之间的距离一完整波形长波传播方向三.波的传播速度、波长和周期以及它们之间的关系波长λ沿传播方向两个相邻的相位（即位移和运波速（相速）v单位时间内振动状态（或相位）传播的距离。波的传播过程就是相位的传播过程相邻两波谷距离频率ν波的周期的倒数，等于波源和各质点的振动频率周期T波前进一个波长所需的时间，等于波源和各质点的振动周期vt=0t=Ttλ前进了一个波长完成了一个振动周期四.波动的几个概念波阵面（波前）点连成的曲面波面（同相面）连成的曲面波线（波射线）波传播的方向某一时刻t，波动到达的各在波动介质中相位相同的点vvT波速、波长和周期（频率）之间的基本关系波阵面是平面波阵面是球面同相面波阵面波线波阵面同相面波线球面波平面波平面纵波球面纵波凝聚区凝聚区稀疏区稀疏区以声波为例例题16-1空气中的声速为320m/s时，振动频率为400Hz的音叉产生的声波的波长是多少？当音叉完成30次振动时，声波传播了多远？解波源的频率就是波的频率，由波长、频率和波速之间的基本关系式得m0.8mv320400音叉完成1次振动所需的时间（周期）为1sT1400完成30次振动所需的时间为3s40040s1t30T3030在30次振动时间内声波传播的距离为Svt3203m24m40一.物质的弹性弹性物体在外力作用下产生形变，外力撤除后物体会恢复原状的性质应力物体形变时，单位面积的恢复力F/S法向应力压应力张应力切向应力FSFFSFS§16–2机械波的传播速度l法向应力=F/SΔllSEF1.线应变BASFFlΔV/V线应变=l/l杨氏弹性模量2.体应变体应变=V/V法向应力=F/S形变量FS体积弹性模量KFS体积变化ΔV切应变ΔxtanAD切向应力=F/S切变弹性模量GFS3.切应变ASFF物体弹性形变的势能Bxl形变量计算伸长量x由0到l过程中，外力所作的功FAFSΔxDESxdx1ES(l)200l2lFdxWll当棒伸长为x时lxFES则棒伸长量x由0到l过程中，外力所作的功为221212lEVllESll即弹性物体的形变势能为W1（杨氏模量）（线应变）2体积2单位体积的形变势能一般可表示为w1（弹性模量）（应变）22p二.传播横波和纵波的介质波的传播速度横波在介质中传播时，介质的形变是切变，只有固体中能产生切向应力，只有固体才能传播横波纵波在介质中传播时，介质的形变是体应变，故固体、液体和气体内都能传播纵波横波引起介质切变放大和惯性，即取决于介质的弹性模量和密度。可以证明：横波在固体中的传播速度为Gv机械波的传播速度完全取决于介质的弹性纵波的传播速度为Kv介质的体积弹性模量介质的密度固体的切变弹性模量固体的密度若纵波沿一细棒状的介质传播，则体积弹性模量可用杨氏弹性模量代替，即在固体中EG，所以在固体中纵波的传播速度大于横波的传播速度机械波的传播速度完全取决于介质的各种弹性模量和波的性质（横波、纵波），以及介质的密度，与频率无关。Ev杨氏弹性模量介质的密度三子波的合成波方波可分解为无穷多子波的叠加简谐波波源和各质点均作简谐振动的波无论是什么形式的波，都可视为是由许多最简单、最基本的简谐波（余弦波）的合成tTA2(2k1)kk13sinTtA2(2k1)kTk1sintTAsin2t3TAsin23Asin25t5TA§16-3平面简谐波的波函数x在均匀介质中沿x轴正向传播的一平面简谐波已知原点O的振动方程，需导出P点的振动方程一.平面简谐波的波函数平面简谐波的波函数能描述x轴上各点振动情况的函数yxOPv波线波传播方向质点振动相对于平衡位置的位移vxyAcos(t)波的传播就是振动相位的传播，O点相位传到P点所需时间为，则P点t时刻相位等于O点t时刻相位，即(t)，P点位移为已知原点O点的振动方程为vxvxx(t)yAcosv给出了在波的传播过程中，任意时刻、任一点的振动状态。即沿x轴正向传播的平面简谐波的波函数P点的振动方程原点O的初相T22Tv沿x轴正向传播的波函数可写成如下几种形式：yAcos[2(tx)]yAcos[(tx)]vyAcos[2(tx)]T即x=x处质点的振动方程，初相为0yt0二.波函数yAcos[(tx)]的物理意义当x一定时例如x=x0，波函数变为vyAcos[t(x0)]v)(0vxx=x0处质点的振动曲线Acos(x0)vyAcos[(t0即t=t0时刻的波形方程当t一定时例如t=t0，波函数变为yxOv波线波传播方向)]vxt=t0时刻的波形该时刻各质点的位移曲线Acos(t0)波的传播过程就是波形的传播过程，这种在空间传播的波称为行波xt时刻的波形Δt时间内波形移动距离Δx=若t与x都变化t+Δt时刻的波形yOv波传播方向vΔt两波形上相位相同点xv由波函数可得：t时刻，位于x处质点的相位为(tx)vt+t时刻，位于xΔx处质点的相位为(tΔtxΔx)因两质点的相位相同，则(tx)(tΔtxΔx)vv表明经过t时间，波形向前推进了x=vt的距离，即波形以速度v向前传播xP点相位传送到O点所需时间为x/v在均匀介质中沿x轴负向传播的一平面简谐波已知原点O的振动方程，需导出P点的振动方程波沿x轴负向传播yxOPv波传播方向vxyAcos(t)波的传播就是振动相位的传播，O点相位落后P点的相位的时间为，则t时刻P点相位等于O点时刻相位，t时刻P点位移为已知原点O点的振动方程为vxtx(t)yAcosv即沿x轴负向传播的平面简谐波的波函数P点的振动方程原点O的初相yAcos[2(tx)]T沿x轴负向传播的波函数可写成如下几种形式：yAcos[(tx)]vyAcos[2(tx)]TT22v例题16-2沿x轴正向传播的平面余弦波，原点的振动方程为y=6×10-2cos(πt/9+π/3)，其中y以m为单位，t以s为单位，波长为36m，求：（1）波函数；（2）x=9m处质点的振动方程；（3）t=3s时的波形及该时刻波峰的位置坐标。解（1）原点振动初相φ=π/3，波的振幅频率等于原点振动的振幅频率，波长λ=36m，代入沿x轴正向传播的波函数表示式，得x)]18363y6102cos[2(t或y6102cos[(tx)]923其中x、y以m为单位，t以s为单位。（2）在上式中，令x=9m，即得所求振动方程y6102cos(t)96（3）在波函数中，令t=3s，即得该时刻的波形y6102cos(2x)318波峰处位移最大，即y=6×10-2m，将之与上式相比较得：cos(2x)1318由此得2x2k318x=(12–36k)m,k=0,±1,±2,…这就是各波峰的位置坐标例题16-3图中实线为一平面余弦波在t=0时刻的波形图，此波形以v=0.08m/s的速度沿x轴正向传播，试求：（1）a、b的振动方向；（2）O点的振动方程；（3）波函数。解（1）y/mO-0.2x/mv0.2ab0.20.4Δt时间后的波形运动方向（2）由图看出波的振幅A=0.2m，波长λ=0.4m，已知波速v=0.08m/s，由基本关系式λ=vT得：T0.4s5sv0.08故O点的振动方程为yAcos(2t)0.2cos(2t)T5初相φ的计算：O点的振动速度为udy0.08sin(2t)5dtt=0时，O点的位移y=0，O点向下运动，即u为负，代入以上二式得cosφ=0，sinφ0，由第一式得φ=π/2或3π/2，由第二式sinφ0，应取φ=π/2，得O点的振动方程y0.2cos(2t)52其中y以m为单位，t以s为单位。（3）该平面余弦波的波函数为x(t)yAcosv52)0.2cos2(t0.08x其中t以s为单位，x、y以m为单位。波的传播过程既是振动的传播过程，也是能量的传播过程波函数为yAcos(tx)的简谐纵波在棒中传播v一.波的能量x△xBCOBCyy+△y波线截面积S取体积元S△x平衡位置形变后t时刻位置§16-4波的能量能流密度介质密度为ρ，体积元BC质量为ΔmSΔx2WkΔmu21因△x很小，t时刻体积元运动速度即x处介质的振动速度uyAsin(tx)ΔVAsin(t)2v1x222tv体积元的振动动能为该时刻体积元的伸长为△y，则线应变limΔyyAsin(tx)Δx0Δxvxv体积元的弹性势能为ΔVxyΔW1E22psin2(tx)ΔV1EA222vEv2由振动速度与弹性模量关系v，Ev2ΔW1ΔV2A2sin2(tx)2vp结果表明，任一时刻体积元的动能和势能完全相等，相位相同，同时达到最大，同时为零体积元的总能量为ΔWΔVA22sin2(tx)ΔWΔWpkv结果表明，体积元的总能量随时间作周期性变化；在给定时刻各体积元的总能量随空间位置x作周期性变化；介质中能量以波的形式传播。能量密度与平均能量密度介质中单位体积内波的能量叫做波的能量密度，表示为wΔWA22sin2(tx)ΔVv能量密度在一个周期内的平均值称平均能量密度22012wdt1ATTw二.能流和能流密度单位时间内通过某一面积的平均能量称为通过该面积的平均能流vS平均能量wSvpwSv12A2vS2波传播方向v1s