2013年圆梦计划专升本高等数学入学测试模拟题及答案2

12013年圆梦计划专升本高等数学入学测试模拟题及答案一、选择题（下列每小题的选项中，只有一项是符合题意的，请将表示该选项的字母填在题后的括号内。共10小题，每小题3分，共30分）1.若函数0,sin0,3)(xaxxxexfx在0x在处连续，则a（C）A.0B.1C.2D.3解：由)0()00()00(fff得231aa,故选C.2.当0x时，与函数2)(xxf是等价无穷小的是（A）A.)1ln(2xB.xsinC.xtanD.xcos1解：由11ln(lim1ln()(lim)220)20xxxxfxx,故选A.3.设)(xfy可导，则)]([xef=（D）A.)(xefB.)(xefC.)(xxefeD.)(xxefe解：)()()()]([xxxxxefeeefef,故选D.4.设x1是)(xf的一个原函数，则dxxfx)(3（B）A.Cx221B.Cx221C.Cx331D.Cxxln414解：因x1是)(xf的一个原函数,所以211)(xxxf,所以Cxxdxdxxfx2321)(故选B.5.下列级数中收敛的是（C）2A.1374nnnnB.1231nnC.132nnnD.121sinnn解：因121)1(lim2122)1(lim33313nnnnnnnn,所以132nnn收敛,故选C.6.交换102121121),(),(yyydxyxfdydxyxfdyI的积分次序，则下列各项正确的是（B）A.1022),(xxdyyxfdxB.1022),(xxdyyxfdyC.2122),(xxdyyxfdxD.2122),(xxdyyxfdx解：由题意画出积分区域如图:故选B.7.设向量21,是非齐次线性方程组AX=b的两个解，则下列向量中仍为该方程组解的是（D）A.21B.21C.212D.212解：因,2)(2121bbbAAA同理得,0)(21A,3)2(21bA,)2(21bA故选D.8.已知向量)2,5,4,0(),0,,0,2(),1,1,2,1(321k线性相关,则k（D）交换dxyxfdydxyxfdyIyy21212121),(),(的积分顺序，则I（A）A．dyyxfdxxx211),(B．dyyxfdxxx211),(C．dyyxfdxxx1211),(D．dyyxfdxxx1211),(yy=2xy=x2O1x213A.-2B.2C.-3D.3解:03002240112125402240112125400021121321kkkk由于123,,线性相关,所以123(,,)2r,因此3k9.设BA,为事件，且,2.0)(,4.0)(,6.0)(ABPBPAP则)(BAP（A）A.0.2B.0.4C.0.6D.0.8解:2.0)]()()([1)(1)()(ABPBPAPBAPBAPBAP10.有两个口袋,甲袋中有3个白球和1个黑球,乙袋中有1个白球和3个黑球.现从甲袋中任取一个球放入乙袋，再从乙袋中任取一个球,则取出白球的概率是（B）A.163B.207C.41D.21解:由全概率公式得20751415243p二、填空题(本题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题中横线上。)11．设函数216131arcsinxxy，则函数的定义域为)4,2[.解：424442016,13112xxxxx.12．设曲线22xxy在点M处的切线斜率为3,则点M的坐标是)0,1(.解：12xy，由1312xxy，从而0y，故填)0,1(.13．设函数xxyarctan，则y22)1(2x.解：21arctanxxxy,2222222)1(2)1(2111xxxxxy.414．dxxx2012)1(lnCx2013)1(ln2013.解：Cxxdxdxxx2013)1(ln)1(ln)1(ln)1(ln201320122012.15．dxxex01=e.解：edxxeedxxexx001..16．幂级数15)2(nnnnx的收敛域为)7,3[.解：由152215lim5)2(15)2(lim)()(lim111xxnnnxnxxuxunnnnnnnnn.得73x级数收敛,当3x时,级数为1)1(nnn收敛;当7x时,级数为11nn发散;故收敛域为)7,3[.17．设A是n阶矩阵，E是n阶单位矩阵，且，032EAA则1)2(EAEA.解：)()2())(2(0312EAEAEEAEAEAA19．设型随机变量),8,1(~NX且),()(cXPcXP则c=1.解：由正态分布的对称性得1c.520．设型随机变量X在区间]4,2[上服从均匀分布,则方差)(XD31.解：直接由均匀分布得3112)24()(2XD.三、计算题：本大题共8小题，其中第21-27题每题7分，第28题11分，共60分。21．计算极限xxxx20tansinlim.解：原式=20sinlimxxxx=xxx2cos1lim0=2sinlim0xx=0.22．求由方程xyyx确定的隐函数的导数dxdy.解：两边取对数得yxyxlnlnln,两边求导得yyxyyxy11ln,从而)1()ln1(xxyxydxdy.参考:设随机变量X~)0)(,(2N,且二次方程042Xyy无实根的概率为21,则=．解：由于X~)0)(,(2N方程042Xyy有实根,则40416XX此方程无实根的概率为21}4{XPp,故=4.623．计算定积分222211dxxx解：令txsec,则,tansectdttdx当2x时,4t;当2x时,3t.所以原式=342tansectansecdttttt=34costdt=|34sint=)23(21.24．求微分方程02xeyy的通解.解：原方程可整理为xeyy2这是一阶线性微分方程,其中xexQxP)(,2)(.所以原方程的通解为CdxexQeydxxPdxxP)()()()(22Cdxeeedxxdx.)(2Cdxeexx)(2CeexxxxCee225．计算二重积分Dydx2,其中D是由直线222xyxyx和、所围成的区域.解：区域D如图阴影部分所示.故Dydx2xxyyxx22221dd212222d21|yyxxx214)d44(21xx|215)252(xx5210.yy=2xxy=2xO1242726．设矩阵320031101A，,231B且满足XBABAX2,求矩阵X.解：由XBABAX2可得BEAEABEAXEA))(()()(2因02420041100||EA,所以EA可逆,因此BEAX)(23122002110225027．设行列式1321312132113211)(xxxxxD,求)(xD在0x处的导数.解：13273127321732171321312132113211)(xxxxxxxxxxxxD211101110010001)7(1321312132113211)7(xxxxxxxx)23)(7()2)(1)(7(22xxxxxxxx.故)32)(7()23)(72()(22xxxxxxxD.从而14)0(D.Oxyy=xyx121图5-7828．已知离散型随机变量X的密度函数为.2,1,21,21,10,,0,0)(xxxaxxF且数学期望34)(XE.求:(1)a的值;(2)X的分布列；(3)方差D(X)．解：(1)由分布函数的性质知,随机变量X的可能取值为0、1、2，且21)2(,21)1(,)0(XPaXPaXP因3423212)21(10)(aaaXE所以61a.(2)由（1）即得X的分布列为X012P613121(3)37212311610)(2222XE,四、证明题与应用题：本大题共3小题，每小题10分，共30分。29．设)(2yxfxyu，其中)(tf可微，uyzyxzx3:证明.证明：因为yyxfxyyxfyxu1)()(22),()(2yxfxyyxfy22)()(2yxyxfxyyxxyfyu9)()(22yxfxyxxyf,故)()(2)()(2222yxfyxyxfxyyxfyxyxfxyyuyxux)(32yxfxyu3.(9分)30．设D是由曲线exxy,ln及x轴所围成的的平面区域求:(1)平面区域D的面积S;(2)D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V．解:区域D如图阴影部分所示。曲线xyln与x轴及ex的交点坐标分别为)1,(),0,1(e（1）平面区域D的面积1)ln(dln|11eexxxxxS.（2）D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积V).1(22dd)(12102210221022|eeeyeeyeeVyyy31．证明不等式：当eba时，)71828.2(lnlnebaabab.证明:设),(,ln)(exxxxf,则),(,0ln1)(exxxf,所以),(ln)(exxxxf在上单调递增,从而当当eba时,有)()(bfaf,即bbaalnln,即baablnln;令),(,ln)(exxxxg,则),(,0ln1)(2exxxxg,所以),(ln)(exxxxg在上单调递减,从而当当eba时,有)()(bfaf,即bbaalnln,从而abablnln.综上所述:当eba时，有baabablnln.yOxy=lnx1e(e,1)