201309-201401上师大数学分析(I)期末试卷(B卷)--参考答案

上海师范大学标准试卷2013~2014学年第一学期考试日期2014年1月日考试时间：120分钟数学分析（一）期末考试（B卷）专业年级班姓名学号题号一二三四五六总分得分我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。签名：________________得分一、叙述下列概念定理（本大题满分9分，每小题3分）1.一元函数在一点连续的归结原则.函数,的一邻域中有定义在)(0xxf那么xxf0在)(处连续的充要条件是.lim有,00xxxxffnnnn2.一元函数在一点处可导.函数,的一邻域中有定义在)(0xxf如果极限Axfxfxxxx000lim存在,我们称函数xxf0在)(处可导,导数值为A.3.柯西(Cauchy)微分中值定理.那么).,(,0且,上可导),(在,上连续],[在)(),('baxxbabaxgxfg存在.)()()()(使得),,(''gfagbgafbfba得分二、判断题,对的打√,错的打×（本大题满分10分，每小题2分）1.无穷大量加无穷大量是无穷大量.(×)2.区间上可导函数的导函数的间断点必定是第二类间断点.(√)3.函数的极值点处导数值为零.(×)4.闭区间上非常值连续函数,如端点处函数值相同,必存在一点其导数值为零.(×)5.若)(xf在x0的某邻域内有三阶导数,且导数连续,00''0'xfxf,则条件三阶导数00'''xf是x0成为)(xf的拐点的充要条件.(√)得分三、填空题（本大题满分15分，每小题3分）1.设)7(,49)3(lg12ffxxfx则342lg1.2.nnnnn12111lim1.3.xxxxsincos1320lim1/2.4.导函数)cos2sin('xxcos(2xcosx)(2cosx-2xsinx).5.n阶导数43cosxn243cos3nxn.得分四、求解下列各题（本大题满分36分，每小题6分）1.求极限.sinxlimtan02xx.1)cosexp()cossinlnexp()sinlntanexp(原式0202x02x02xsinlntan02xsinlimlimlimlimeexxxxxxxx2.设函数.0,1sin,0,,0,sin1xbxxxaxxxxf求a,b,使得处在0)f(xx连续..1:处连续当且仅当0在)(,所以.1sinlim)00(,)0(,1sinlim)00(0000baxxfbbxxfafxxfxx3.详细写出利用导数判断方程||ln2xx的实根的个数和范围的过程..内有唯一的实根)0,(在0)(,所以.)(lim.0,021,时0.内无根),0(在0)(,所以.02ln22)2().2,0(,0;2,0);,2(,021,时0.)(lim.0定义域|,|ln2)(记''0xfxfxxxxxffxxxxxxxfxxxxfxxff4.求由参数方程0xsincos33atayta确定的函数)(xyy的一阶导数和二阶导数..sin31sin3,tansin3cos3coscosseccossin4222222ttattatdytttattadxdyxd5.设x,x为二阶可导函数,求函数xxlogy的一阶微分..)()(ln)()()(ln)()(ln2''dxxxxxxxxdy6.设用某仪器进行测量时,测得n次实验数据为aaan,,,21.问以怎样的数值x表示所要测量的真值,才能使它与这n个数值之差的平方和最小?.1得到,02.平方和11'12nkknkknkaayaxnxxky得分五、证明题（本大题满分20分，每小题5分）1.设xxxnn6,1011证明:.并求出此极限,存在limxnn).舍去2(3即,6:则由递推公式得到.a设.存在,所以.66则,假设.41610:单调递减0limlim2111k21aaaaxxxxxxxxxxxnnnnkkkkkn2.已知.1)1ln(1x1:则.0xx.原式得证.时0,0)(.单调递增)(,0,0)1ln(1111)1ln()(.0)0(.0),1ln()1ln()(记.0),1ln()1ln(:证明原式等价于证明'xxfxfxxxxxxxfxxxxxxfxxxxxf3.设f(x)为区间[a,b]上二阶可导函数,f(a)=f(b)=0,并且存在一点c,acb,使得f(c)0.证明:至少存在一点d,adb,使得两阶导数.00''xf.即可取.0,,,.0)()(),,(.0)()(),,(0212'1'''212'21'1xfffffbacbcfbfcacacfafca4.)[0,sy在xin上一致连续..上一致连续),0[故函数在.上连续从而一致连续]1,0[又它在;上一致连续),1{在sin所以.2cos2sin2|sins|,),[1.,0,212121212121212121xxxxxyinxxxxxxxxxxxxxx得分六、论述作图题（本大题满分10分）讨论函数xxyarctan2的定义域,渐近线,单调区间,极值(点),凹凸区间,拐点,并作出其图像.定义域为R,奇函数,过原点(0,0)..y:渐近线).0,0(拐点),,0(:凸区间,)0,(:凹区间.12)1(极大值,21)1(极小值.)1,1(:单调减区间),,1(),1,(:单调增区间.0)0(,24;01,11''2'''22'1yxYyxyxyyxx