2013年常州市中考数学试题及答案

12013年江苏省常州市中招考试数学试卷一．选择题（本大题共有8小题，每小题2分，共16分，在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的）1．在下列实数中，无理数是（）A．2B．3.14C．12D．32．如图所示圆柱的左视图是（）A．B．C．D．3．下列函数中，图象经过点（1，﹣1）的反比例函数关系式是（）A．1yxB．1yxC．2yxD．2yx4．下列计算中，正确的是（）A．（a3b）2=a6b2B．a•a4=a4C．a6÷a2=a3D．3a+2b=5ab5．已知：甲乙两组数据的平均数都是5，甲组数据的方差21S12甲，乙组数据的方差21S10乙，下列结论中正确的是（）A．甲组数据比乙组数据的波动大B．乙组数据的比甲组数据的波动大C．甲组数据与乙组数据的波动一样大D．甲组数据与乙组数据的波动不能比较6．已知⊙O的半径是6，点O到直线l的距离为5，则直线l与⊙O的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．无法判断7．二次函数2yaxbxc（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：x﹣3﹣2﹣1012345y1250﹣3﹣4﹣30512给出了结论：（1）二次函数2yaxbxc有最小值，最小值为﹣3；（2）当1x22时，y＜0；（3）二次函数2yaxbxc的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（）2A．3B．2C．1D．08．有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a、b（b＞a）的矩形纸片，5张边长为b的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）A．a+bB．2a+bC．3a+bD．a+2b二．填空题（本大题共有9小题，第9小题4分，其余8小题每小题2分，共20分，）9．（2013年江苏常州4分）计算3__________，3__________，13__________，23__________．10．已知点P（3，2），则点P关于y轴的对称点P1的坐标是__________，点P关于原点O的对称点P2的坐标是__________．11．已知一次函数y=kx+b（k、b为常数且k≠0）的图象经过点A（0，﹣2）和点B（1，0），则k=__________，b=__________．12．已知扇形的半径为6cm，圆心角为150°，则此扇形的弧长是__________cm，扇形的面积是__________cm2（结果保留π）．13．函数yx3中自变量x的取值范围是__________；若分式2x3x1的值为0，则x=__________．14．我市某一周的每一天的最高气温统计如下表：最高气温（℃）25262728天数1123则这组数据的中位数是__________，众数是__________．15．已知x=－1是关于x的方程222xaxa0的一个根，则a=__________．16．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC，BD为⊙O的直径，AD=6，则DC=__________．317．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点A在反比例函数1yx的图象上，第二象限内的点B在反比例函数kyx的图象上，连接OA、OB，若OA⊥OB，OB=22OA，则k=__________．三、解答题（本大题共2小题，共18分）18．（8分）化简（1）（4分）00420132cos60（2）（4分）22x1x4x2．19．（10分）解方程组和分式方程：（1）解方程组（5分）x2y03x4y6（2）（5分）解分式方程75x22．4四、解答题（本大题共2小题，共15分请在答题卡指定区域内作答，解答或写出文字说明及演算步骤）20．（7分）为保证中小学生每天锻炼一小时，某校开展了形式多样的体育活动项目，小明对某班同学参加锻炼的情况进行了统计，并绘制了下面的统计图（1）和图（2）．（1）请根据所给信息在图（1）中将表示“乒乓球”项目的图形补充完整；（2）扇形统计图（2）中表示”足球”项目扇形的圆心角度数为__________．21．（8分）一只不透明的箱子里共有3个球，其中2个白球，1个红球，它们除颜色外均相同．（1）从箱子中随机摸出一个球是白球的概率是多少？（2）从箱子中随机摸出一个球，记录下颜色后不将它放回箱子，搅匀后再摸出一个球，求两次摸出的球都是白球的概率，并画出树状图．5五．解答题（本大题共2小时，共13分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出证明过程）22．（6分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．求证：∠A=∠B．23．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=60°，∠FAC、∠ECA是△ABC的两个外角，AD平分∠FAC，CD平分∠ECA．求证：四边形ABCD是菱形．六．解答题（本大题共2小题，请在答题卡指定区域内作答，共13分）24．（6分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），并回答下列问题：∠ABC=__________，∠A′BC=__________，OA+OB+OC=__________．625．（7分）某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁．饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）．（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？七．解答题（本大题共3小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）26．（6分）用水平线和竖起线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形．设格点多边形的面积为S，该多边形各边上的格点个数和为a，内部的格点个数为b，则1Sab12（史称“皮克公式”）．小明认真研究了“皮克公式”，并受此启发对正三角开形网格中的类似问题进行探究：正三角形网格中每个小正三角形面积为1，小正三角形的顶点为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形，下图是该正三角形格点中的两个多边形：7根据图中提供的信息填表：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形181多边形273…………一般格点多边形abS则S与a、b之间的关系为S=__________（用含a、b的代数式表示）．27．（9分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为__________；（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．（3）连接AD，当OC∥AD时，①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．828．（10分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+2的图象与x轴交于A，与y轴交于点C，点B的坐标为（a，0），（其中a＞0），直线l过动点M（0，m）（0＜m＜2），且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E，P点在y轴上（P点异于C点）满足PE=CE，直线PD与x轴交于点Q，连接PA．（1）写出A、C两点的坐标；（2）当0＜m＜1时，若△PAQ是以P为顶点的倍边三角形（注：若△HNK满足HN=2HK，则称△HNK为以H为顶点的倍边三角形），求出m的值；（3）当1＜m＜2时，是否存在实数m，使CD•AQ=PQ•DE？若能，求出m的值（用含a的代数式表示）；若不能，请说明理由．92013年江苏省常州市中招考试数学试卷答案一、选择题题号12345678答案DCAABCBD二、填空题9．3，3，13，910．（－3，2），（－3，－2）11．2，﹣212．5π，15π13．3x，32x14．27，2815．﹣2或116．2317．12三、解答题18．（1）原式=121222（2）解：原式=2xx2x21x2x2x2x2x2x2x219．（1）解：x2y03x4y6①②，由①得x=﹣2y③把③代入②，得3×（﹣2y）+4y=6，解得y=﹣3把y=﹣3代入③，得x=6∴原方程组的解为x6y3（2）解：去分母，得14=5（x﹣2），解得x=4.8，检验：当x=4.8时，2（x﹣2）≠0，∴原方程的解为x=4.820．解：（1）总人数是：20÷40%=50（人），则打乒乓球的人数是：50﹣20﹣10﹣15=5（人）。10补图如下：（2）72°21．解：（1）∵共有3个球，2个白球，∴随机摸出一个球是白球的概率为23。（2）根据题意画出树状图如下：∵一共有6种等可能的情况，两次摸出的球都是白球的情况有2种，∴P（两次摸出的球都是白球）216322．∵C是AB的中点，∴AC=BC。在△ACD和△BCE中，∵AD=BE，CD=CE．AC=BC，∴△ACD≌△BCE（SSS）∴∠A=∠B23．∵∠B=60°，AB=AC，∴△ABC为等边三角形∴AB=BC，∠ACB=60°∴∠FAC=∠ACE=120°∴∠BAD=∠BCD=120°∴∠B=∠D=60°∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是菱形24．作图如下：1130°，90°，725．（1）设该厂生产甲种饮料x千克，则生产乙种饮料（650﹣x）千克，根据题意得，0.6x0.2650x3000.3x0.4650x240①②，由①得，x≤425，由②得，x≥200，∴x的取值范围是200≤x≤425。（2）设这批饮料销售总金额为y元，根据题意得，y3x4650x3x26004xx2600（），即y=﹣x+2600，∵k=﹣1＜0，∴当x=200时，这批饮料销售总金额最大，为﹣200+2600=2400元26．解：填表如下：格点多边形各边上的格点的个数格点边多边形内部的格点个数格点多边形的面积多边形1818多边形27311…………一般格点多边形abSa+2（b﹣1）27．（1）45°或135°（2）当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，12∵△OAB为等腰直角三角形，∴AB=2OA=62∴OE=12AB=32∴CE=OC+CE=3+32∴△ABC的面积11CEAB33262921822（）∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9218（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，∵OD⊥OC，OC∥AD，∴∠ADO=∠COD=90°∴∠DOA+∠DAO=90°∵∠DOA+∠COF=90°，∴∠COF=∠DAO∴Rt△OCF∽Rt△AOD。，∴CFOCODOA，即CF336，解得3CF2在Rt△OCF中，2233OFOCCF2，∴C点坐标为333,22②直线BC是⊙O的切线理由如下：在Rt△OCF中，OC=3，OF=332，∴33OF32cosCOFOC32∴∠C