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初等几何与几何教学研究之云南师范大学“国培计划——中西部初中数学骨干教师培训”第一章几何学的发展简史几何学是一门源远流长，多姿多彩的学科，在人类的理性文明中，它是当之无愧的老大哥。数千年来，不论在思想领域的突破上，在科学方法论的创建上，几何学总是扮演着“开路先锋”的角色。今天，几何学仍然是一门方兴未艾、蓬勃发展的学科，在整个数学体系中，几何一直是一个重要的主角。——题记提纲一、几何的发展历史线索二、几何学发展概述三、我国平面几何课本的历史演变四、小结一、几何的发展历史线索经验几何（远古─元前600年）论证几何（欧氏几何）演绎化（元前600年─400年）积累了丰富的经验，但未上升成系统理论埃及几何跟希腊逻辑方法相结合，以抽象化、逻辑化为特点非欧几何几何基础（公理几何）解析几何射影几何微分几何拓扑学画法几何仿射几何代数几何解析几何(17世纪)（坐标法）代数法代数曲线代数曲面代数族域上多胞形微分几何(19世纪)（分析方法）张量分析微分流形、黎曼流形、复流形大范围微分几何射影几何(19世纪)（综合法、爱尔兰根纲领代数法）非欧几何黎曼几何（19世纪）拓扑学（几何与代数、分析相结合，多样化发展）点集拓扑代数拓扑解析拓扑分形几何微分拓扑微分流形纤维丛罗巴切夫斯基几何1.几何学的产生——无意识几何阶段•几何学和算术一样产生于实践，也可以说几何产生的历史和算术是相似的。在远古时代(公元前5000年以前)，人们在实践中积累了十分丰富的有关平面、直线、方、圆、长、短、宽、窄、厚、薄等概念，并且逐步认识了这些概念之间、它们以及它们之间位置关系跟数量关系之间的关系，这些后来就成了几何学的基本概念。二、几何学发展概述•恩格斯说：“数学是从计算时间和器皿制造中产生的”。计算时间产生了“数”，而器皿制造则产生了“形”。正是这些有如器皿制造等生产实践的需要，原始的几何概念便逐步形成了比较粗浅的几何知识。虽然这些知识是零散的，而且大多数是经验性的，但是几何学就是建立在这些零散、经验性的、粗浅的几何知识之上的。•几何学是数学中最古老的分支之一，也是在数学这个领域里最基础的分支之一。古巴比伦、古埃及、古印度、中国、古希腊都是几何学的重要发源地。•在我国的史前时期，人们已经掌握了许多几何的基本知识，这有大量出土文物可以证明，•如甘肃省景泰县张家台（新石器时代，约公元前2000年左右）出土的彩陶罐上发现的大量的平行线、三角形、正方形、圆弧等。•在西安半坡遗址（新石器时代）的考古过程中发现一些陶罐片上绘有方格、米字、回文等几何图案。看一看远古时期人们使用过的物品中那许许多多精巧的、对称的图案的绘制，一些简单设计但是讲究体积和容积比例的器皿，都足以说明当时人们掌握的几何知识是多么丰富了。2.几何学的初步发展——经验几何阶段•当人们经历了无意识几何的漫长的酝酿之后、初步形成了“形”的意识，进而尝试了一些简单的“度量”工作，同时对几何“结构”关系的探索也慢慢地开始了。这样，几何就从无意识几何阶段步入了经验几何阶段。•所谓经验几何，就是人们通过对大量的具体几何素材进行反复的感受和体验，归纳、概括出较为一般的几何关系，在实践中对其加以验证和检验，并从中挖掘和发现更新的几何关系的一种实验型几何的历史阶段。•经验几何最大的好处就是它包含了很重要的思想方法——特例研究发现法，即对具体事例进行分析、研究和实验，采用归纳、类比、联想等思维方法，发现几何关系的本质特征，揭示事物的内在规律，寻找解决问题的办法，从而达到解决问题的目的。•但是在经验几何阶段，人们的思维发展水平不高限制了对一些难度较大的问题的进一步探索，被迫转而采用实验的方法对问题进行粗略的、近似的处理。在这些问题中，人们首要考虑的是实际应用迫切需要但理论上又暂时得不到解决的问题，比如“如何求圆的面积”，“球体体积如何计算”等等。•林永伟先生认为：对于现今中小学几何教学而言，经验几何的思想方法无疑给我们提供了许多更深层次的启示意义：经验几何能够提供学生广阔的数学活动空间，使数学教学成为真正意义上的“数学活动的教学”。•以经验几何的活动方式对几何问题进行探索，不仅能使学生充分体会到几何原理的来龙去脉，加深对其本质意义的理解，而且其过程本身就包含了丰富的内容，体现一定的趣味性和吸引力，从而使提高学生学习数学的主动性；经验几何中所包含的还有另一主要思想方法——不完全归纳法，而这一方法在发展学生“策略创造”思维方面具有独特的效能。•所以在几何教学，尤其是初等几何教学中，我们主张先从“宏观”——生动活泼的“策略效能”出发，再以“微观”——一丝不苟的“逻辑演绎”予以补正。3.由哲学而来的新几何——论证几何•几何之所以能成为一门系统的学科，希腊学者的工作曾起了十分关键的作用。两千多年前的古希腊商业繁荣，生产比较发达，一批学者热心追求科学知识，研究几何就是最感兴趣的内容之一。在这里应当特别关注的是古希腊著名哲学家、几何学家柏拉图和亚里士多德对发展几何学的贡献。•论证几何有两大基本要素：一是几何的基本原理——公理是否可靠，即出发点是否正确；二是逻辑推理的过程是否严密。古希腊的哲学为论证几何的产生和发展提供了坚实的理论基础和思想支柱，因为哲学研究的思想方法就是从最简单的始点出发演绎出最复杂、最丰富的世界。另外，对理性的追求，对严谨的渴望，深深扎根于古希腊人的心灵深处。•事实上，古代中国的数学研究者注重的是实际问题的解决，如土地面积计算等，这也正是为什么论证几何没有也不可能在中国产生的原因。•柏拉图把逻辑学的思想方法引入了几何，使原始的几何知识受逻辑学的指导逐步趋向于系统和严密的方向发展。柏拉图在雅典给他的学生讲授几何学，已经运用逻辑推理的方法对几何中的一些命题作了论证。•亚里士多德被公认是逻辑学的创始人，他所提出的“三段论”的演绎推理的方法，对于几何学的发展，影响更为巨大。到今天，在初等几何学中，更多的仍然运用三段论的形式来进行推理。•但是，尽管那时候已经有了十分丰富的几何知识，这些知识仍然是零散的、孤立的、不系统的。真正把几何总结成一门具有比较严明理论的学科的，是古希腊杰出的数学家欧几里得。•欧几里得(EuclidofAlexandria)的生平，“从生活年代来说，属于希腊历史上第二个大分期，即亚历山大里亚时期。4.欧几里得的《几何原本》•欧几里得在公元前300年左右生活在亚历山大里亚城并在该处授徒，这一点是很肯定的，虽然他本人的教育可能得自雅典学院。我们对欧几里得个人的生平几乎就只知道这点情况，而且连这点情况也还是从Proclus《评述》的一段文字中得来的。”（见M.克莱因《古今数学思想史》65页）。•《几何原本》是欧几里得最出名的著作。它最突出的是从一些特别提出的公理、公设和定义有计划地来论证其它命题，其次是它第一次把丰富而散漫的几何材料整理成了系统严明的读本。正因为如此，它成为人类历史上最作大的科学杰作。所以他的《几何原本》一直被后世所推崇，以至于二千多年来所有初等几何教科书以及初等几何的论著无不以他的《几何原本》为根据。•由于《几何原本》有其无与伦比的历史意义，我们有必要对其作一个基本的介绍，特别是平面几何部分。•《几何原本》共有十三篇。（一）第一篇先给出书中第一部分的所用概念的定义，共23个。定义1.点是没有部分的东西。定义2.线只有长度而没有宽度。定义3.一线的两端是点。定义4.直线是它上面的点一样地平放着的线。定义5.面只有长度和宽度。定义6.面的边缘是线。定义7.平面是它上面的线一样地平放着的面。定义8.平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度。定义9.当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角。定义10.当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。定义11.大于直角的角称为钝角。定义12.小于直角的角称为锐角。定义13.边界是物体的边缘。定义14.图形是一个边界或者几个边界所围成的。定义15.圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。定义16.这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。定义17.圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。定义18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。定义19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的。定义20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形。定义21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫做不等边三角形。定义22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形。定义23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线。•五个公设（公设只应用于几何）：1.从任一点到任一点作直线[是可能的]。2.把有限直线不断循直线延长[是可能的]。3.以任一点为中心和任一距离[为半径]作一圆[是可能的]。4.所有直角彼此相等。5.若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。•第五条公设就是著名的平行公设,它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论,并最终诞生了非欧几何。•五个公理（公理是适用于一切科学的真理）：1.跟同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。2.等量加等量，总量仍相等。3.等量减等量，余量仍相等。4.彼此重合的东西是相等的。5.整体大于部分。（二）第一篇到第四篇讲直边形和圆的基本性质．第一篇的内容是关于全等形的一些熟知的定理，平行线，毕达哥拉斯(Pythagoras)定理，初等作图法,等价形(有等面积的图形)和平行四边形．所有图形都是直边的,就是说都是由直线段组成的．•特别值得指出的是以下几个定理：命题1．在给定直线上作一等边三角形．命题4.若两个三角形的两边和夹角对应相等，它们就全等．命题5.等腰三角形两底角相等．命题16.三角形一角的外角大于其他两角中的任一角．命题20.任何三角形的两边之和必大于第三边．命题27.若一直线与两直线相交并使内错角相等，则该两直线平行．命题29.一直线与两平行线相交时内错角相等，同位角相等，且同傍内角之和等于两直角．命题44.在给定直线上作一平行四边形，使其一角等于已给角，而其面积等于已知三角形.命题47.直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和。•这定理告诉我们怎样作出一个正方形使其面积为所给两正方形之和。因此这是几何代数法的又一个例子。命题48.若三角形一边上的正方形等于其他两边上的正方形之和，则其他两边的夹角是直角。•第二篇中的突出内容是对于几何代数法的贡献。如：命题4．若把一线在任意一点割开，则在整个线上的正方形等于两段上的正方形加上以两段为边的矩形。命题11、分割一已给直线，使整段与其中一分段所成矩形另一分段上的正方形。•第三篇含37个命题．它开头给出有关圆的一些几何定义，然后着手讨论弦、切线、割线、圆心角及圆周角等等．这些定理大多是中学几何里所熟知的。•第四篇在它的16个命题里论述圆的内接和外切图形，如三角形、正方形、正五边形和正六边形。最后的命题讲怎样在一给定圆内作正15边形。•第五篇：比例论这一篇被认为是欧几里得几何的最大成就。•第六篇：相似形•第六篇里利用第五篇的比例理论讨论相似形。•这里从33个定理中举出几个来．看看欧几里得怎样用几何来处理现代代数里的几个基本结果．命题1.等高的三角形和等高的平行四边形[的面积]之比等于它们的底边之比。命题4.在各角对应相等的两个三角形里，夹等角的边以及所等角所对的相应边都成比例。命题5.若两三角形的边成比例，则两三角形有同样的角且此两三角形对应边所对之角相等。命题12.从三根