2013年普通高考数学科一轮复习精品学案_第4讲_基本初等函数

第4讲基本初等函数一．课标要求1．指数函数（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。（3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。2．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3．知道指数函数xay与对数函数xyalog互为反函数（a＞0，a≠1）。二．命题走向指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。预测2013年对本节的考察是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。三．要点精讲1．指数与对数运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n次方等于),1(Nnna且，则这个数称a的n次方根。即若axn，则x称a的n次方根)1Nnn且，1）当n为奇数时，na的次方根记作na；2）当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作)0(aan。②性质：1）aann)(；2）当n为奇数时，aann；3）当n为偶数时，)0()0(||aaaaaan。（2）．幂的有关概念①规定：1）naaaan(N*；2）)0(10aa；n个3）paapp(1Q，4）maaanmnm,0(、nN*且)1n。②性质：1）raaaasrsr,0(、sQ）；2）raaasrsr,0()(、sQ）；3）rbababarrr,0,0()(Q）。（注）上述性质对r、sR均适用。（3）．对数的概念①定义：如果)1,0(aaa且的b次幂等于N，就是Nab，那么数b称以a为底N的对数，记作,logbNa其中a称对数的底，N称真数。1）以10为底的对数称常用对数，N10log记作Nlg；2）以无理数)71828.2(ee为底的对数称自然对数，Nelog，记作Nln；②基本性质：1）真数N为正数（负数和零无对数）；2）01loga；3）1logaa；4）对数恒等式：NaNalog。③运算性质：如果,0,0,0,0NMaa则1）NMMNaaaloglog)(log；2）NMNMaaalogloglog；3）nMnMana(loglogR）。④换底公式：),0,1,0,0,0(logloglogNmmaaaNNmma1）1loglogabba；2）bmnbanamloglog。2．指数函数与对数函数（1）指数函数：①定义：函数)1,0(aaayx且称指数函数，1）函数的定义域为R；2）函数的值域为),0(；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数。②函数图像：1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；2）指数函数都以x轴为渐近线（当10a时，图象向左无限接近x轴，当1a时，图象向右无限接近x轴）；3）对于相同的)1,0(aaa且，函数xxayay与的图象关于y轴对称。③函数值的变化特征：（2）对数函数：①定义：函数)1,0(logaaxya且称对数函数，1）函数的定义域为),0(；2）函数的值域为R；3）当10a时函数为减函数，当1a时函数为增函数；4）对数函数xyalog与指数函数)1,0(aaayx且互为反函数。②函数图像：1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限；2）对数函数都以y轴为渐近线（当10a时，图象向上无限接近y轴；当1a时，图象向下无限接近y轴）；4）对于相同的)1,0(aaa且，函数xyxyaa1loglog与的图象关于x轴对称。③函数值的变化特征：四．典例解析10a1a①100yx时，②10yx时，③10yx时①10yx时，②10yx时，③100yx时，10a1a①01yx时，②01yx时，③010yx时.①01yx时，②01yx时，③100yx时.题型1：指数运算例1．（1）计算：25.02121325.0320625.0])32.0()02.0()008.0()945()833[(；（2）化简：5332332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa。例2．已知11223xx，求22332223xxxx的值。题型2：对数运算例3．计算（1）2(lg2)lg2lg50lg25；（2）3948(log2log2)(log3log3)；（3）1.0lg21036.0lg21600lg)2(lg8000lg5lg23。例4．设a、b、c为正数，且满足222abc新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（1）求证：22log(1)log(1)1bcacab；（2）若4log(1)1bca，82log()3abc，求a、b、c的值。题型3：指数、对数方程例5．设关于x的方程bbxx(0241R），（1）若方程有实数解，求实数b的取值范围；（2）当方程有实数解时，讨论方程实根的个数，并求出方程的解。例6．（2006辽宁文13）方程22log(1)2log(1)xx的解为。题型4：指数函数的概念与性质例7．设1232,2()((2))log(1)2.xexfxffxx＜，则的值为，（）A．0B．1C．2D．3例8．已知)1,0()(log1aaxxxfa且试求函数f(x)的单调区间。题型5：指数函数的图像与应用例9．若函数myx|1|)21(的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A．m≤－1B．－1≤m0C．m≥1D．0m≤1例10．设函数xxfxfxx22)(,2)(|1||1|求使的取值范围。题型6：对数函数的概念与性质例11．（1）函数2log2xy的定义域是（）A．),3(B．),3[C．),4(D．),4[（2）设f(x)＝xx22lg，则)2()2(xfxf的定义域为（）A．），（），（－4004B．(－4,－1)(1，4)C．(－2,－1)(1，2)D．(－4,－2)(2，4)例12．对于)32(log)(221axxxf，（1）函数的“定义域为R”和“值域为R”是否是一回事；（2）结合“实数a的取何值时)(xf在),1[上有意义”与“实数a的取何值时函数的定义域为),3()1,(”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；（3）结合（1）（2）两问，说明实数a的取何值时)(xf的值域为]1,(（4）实数a的取何值时)(xf在]1,(内是增函数。题型7：对数函数的图像及应用例13．当a1时，函数y=logax和y=(1－a)x的图象只可能是()A1oyxB1oyxC1oyxD1oyx例14．设A、B是函数y=log2x图象上两点,其横坐标分别为a和a+4,直线l:x=a+2与函数y=log2x图象交于点C,与直线AB交于点D。（1）求点D的坐标；（2）当△ABC的面积大于1时,求实数a的取值范围。题型8：指数函数、对数函数综合问题例15．在xOy平面上有一点列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，对每个自然数n点Pn位于函数y=2000(10a)x(0a1)的图象上，且点Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以Pn为顶点的等腰三角形。(1)求点Pn的纵坐标bn的表达式；(2)若对于每个自然数n，以bn,bn+1,bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；(3)设Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由。例16．已知函数1,0)((log)(aaxaxxfa为常数）（1）求函数f(x)的定义域；（2）若a=2，试根据单调性定义确定函数f(x)的单调性。（3）若函数y=f(x)是增函数，求a的取值范围。题型9：课标创新题例17．对于在区间nm,上有意义的两个函数f(x)与g(x)，如果对任意的xnm,，均有1)()(xgxf，则称f(x)与g(x)在nm,上是接近的，否则称f(x)与g(x)在nm,上是非接近的，现有两个函数)3(log)(1axxfa与)1,0(1log)(2aaaxxfa，给定区间3,2aa。（1）若)(1xf与)(2xf在给定区间3,2aa上都有意义，求a的取值范围；（2）讨论)(1xf与)(2xf在给定区间3,2aa上是否是接近的。例18．设1x，1y，且2log2log30xyyx，求224Txy的最小值。五．思维总结1．bNNaaNabnlog,,（其中1,0,0aaN）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底；2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析；5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力。