2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

-1-2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。1．函数)42sin(3xy的最小正周期为．【答案】π【解析】T＝|2πω|＝|2π2|＝π．2．设2)2(iz（i为虚数单位），则复数z的模为．【答案】5【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝＝5．3．双曲线191622yx的两条渐近线的方程为．【答案】xy43【解析】令：091622yx，得xxy431692．4．集合}1,0,1{共有个子集．【答案】8【解析】23＝8．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n的值是．【答案】3【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为．【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089x．方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222S．7．现在某类病毒记作nmYX，其中正整数m，n（7m，9n）可以任意选取，则nm，都取到奇数的概率为．-2-【答案】6320【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则nm，都取到奇数的概率为63209754．8．如图，在三棱柱ABCCBA111中，FED，，分别是1AAACAB，，的中点，设三棱锥ADEF的体积为1V，三棱柱ABCCBA111的体积为2V，则21:VV．【答案】1：24【解析】三棱锥ADEF与三棱锥ABCA1的相似比为1：2，故体积之比为1：8．又因三棱锥ABCA1与三棱柱ABCCBA111的体积之比为1：3．所以，三棱锥ADEF与三棱柱ABCCBA111的体积之比为1：24．9．抛物线2xy在1x处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界)．若点),(yxP是区域D内的任意一点，则yx2的取值范围是．【答案】[—2，12]【解析】抛物线2xy在1x处的切线易得为y＝2x—1，令z＝yx2，y＝—12x＋z2．画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(12，0)时，zmax＝12．10．设ED，分别是ABC的边BCAB，上的点，ABAD21，BCBE32，若ACABDE21（21，为实数），则21的值为．【答案】12【解析】)(32213221ACBAABBCABBEDBDEyxOy＝2x—1y＝—12xABC1ADEF1B1C-3-yxlBFOcbaACABACAB213261所以，611，322，2112．11．已知)(xf是定义在R上的奇函数。当0x时，xxxf4)(2，则不等式xxf)(的解集用区间表示为．【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)【解析】做出xxxf4)(2(0x)的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像。不等式xxf)(，表示函数y＝)(xf的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞)。12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为)0,0(12222babyax，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为1d，F到l的距离为2d，若126dd，则椭圆C的离心率为．【答案】33【解析】如图，l：x＝ca2，2d＝ca2－c＝cb2，由等面积得：1d＝abc。若126dd，则cb2＝6abc，整理得：06622baba，两边同除以：2a，得：0662abab，xyy＝xy＝x2—4xP(5,5)Q(﹣5,﹣5)-4-解之得：ab＝36，所以，离心率为：331e2ab．13．在平面直角坐标系xOy中，设定点),(aaA，P是函数xy1（0x）图象上一动点，若点AP，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a的所有值为．【答案】1或10【解析】14．在正项等比数列}{na中，215a，376aa，则满足nnaaaaaa2121的最大正整数n的值为．【答案】12【解析】设正项等比数列}{na首项为a1，公比为q，则：3)1(215141qqaqa，得：a1＝132，q＝2，an＝26－n．记521212nnnaaaT，2)1(212nnnnaaa．nnT，则2)1(52212nnn，化简得：5211212212nnn，当5211212nnn时，12212113n．当n＝12时，1212T，当n＝13时，1313T，故nmax＝12．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知)sin,(cos)sin,(cosba，＝，0．（1）若2||ba，求证：ba；（2）设)1,0(c，若cba，求,的值．解：（1）a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，|a－b|2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，所以，ba．（2）②1sinsin①0coscos，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12．-5-所以，α－β＝32，α＝32＋β，带入②得：sin(32＋β)＋sinβ＝23cosβ＋12sinβ＝sin(3＋β)＝1，所以，3＋β＝2．所以，α＝65，β＝6．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABCS中，平面SAB平面SBC，BCAB，ABAS，过A作SBAF，垂足为F，点GE，分别是棱SCSA，的中点．求证：（1）平面//EFG平面ABC；（2）SABC．证：（1）因为SA＝AB且AF⊥SB，所以F为SB的中点．又E，G分别为SA，SC的中点，所以，EF∥AB，EG∥AC．又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，所以，平面//EFG平面ABC．（2）因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，AF平面ASB，AF⊥SB．所以，AF⊥平面SBC．又BC平面SBC，所以，AF⊥BC．又AB⊥BC，AF∩AB＝A，所以，BC⊥平面SAB．又SA平面SAB，所以，SABC．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3,0(A，直线42:xyl．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围．解：（1）联立：421xyxy，得圆心为：C(3，2)．设切线为：3kxy，ABCSGFExyAlO-6-d＝11|233|2rkk，得：430kork．故所求切线为：3430xyory．（2）设点M(x，y)，由MOMA2，知：22222)3(yxyx，化简得：4)1(22yx，即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D．又因为点M在圆C上，故圆C圆D的关系为相交或相切．故：1≤|CD|≤3，其中22)32(aaCD．解之得：0≤a≤125．18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为min/50m．在甲出发min2后，乙从A乘缆车到B，在B处停留min1后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m，山路AC长为m1260，经测量，1312cosA，53cosC．（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，知：AB＝52k＝1040m．（2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点，如图所示．则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，其中0≤x≤8，当x＝3537(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．（3）由（1）知：BC＝500m，甲到C用时：126050＝1265(min)．若甲等乙3分钟，则乙到C用时：1265＋3＝1415(min)，在BC上用时：865(min)．此时乙的速度最小，且为：500÷865＝125043m/min．若乙等甲3分钟，则乙到C用时：1265－3＝1115(min)，在BC上用时：565(min)．CBADMN-7-此时乙的速度最大，且为：500÷565＝62514m/min．故乙步行的速度应控制在[125043，62514]范围内．19．（本小题满分16分）设}{na是首项为a，公差为d的等差数列)0(d，nS是其前n项和．记cnnSbnn2，*Nn，其中c为实数．（1）若0c，且421bbb，，成等比数列，证明：knkSnS2（*,Nnk）；（2）若}{nb是等差数列，证明：0c．证：（1）若0c，则dnaan)1(，2]2)1[(adnnSn，22)1(adnbn．当421bbb，，成等比数列，4122bbb，即：2322daada，得：add22，又0d，故ad2．由此：anSn2，aknankSnk222)(，aknSnk222．故：knkSnS2（*,Nnk）．（2）cnadnncnnSbnn22222)1(，cnadncadncadnn2222)1(22)1(22)1(cnadncadn222)1(22)1(．(※)若}{nb是等差数列，则BnAnbn型．观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：022)1(2cnadnc，即022)1(adnc，而22)1(adn≠0，故0c．经检验，当0c时}{nb是等差数列．20．（本小题满分16分）设函数axxxfln)(，axexgx)(，其中a为实数．-8-（1）若)(xf在),1(上是单调减函数，且)(xg在),1(上有最小值，求a的取值范围；（2）若)(xg在),1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论．解：（1）axxf1)(≤0在),1(上恒成立，则a≥x1，)1(，x．故：a≥1．axgxe)(，若1≤a≤e，则axgxe)(≥0在),1(上恒成立，此时，axexgx)(在),1(上是单调增函数，无最小值，不合；若a＞e，则axexgx)(在)ln1(a，上是单调减函数，在)(ln，a上是单调增函数，)ln()(minagxg，满足．故a的取值范围为：a＞e．（2）axgxe)(≥0在),1(上恒成立，则a≤ex，故：a≤1e．)0(11)(xxaxaxxf．(ⅰ)若0＜a≤1e，令